Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có chiều cao bằng $6\sqrt{3}$ và bán kính đáy $r=6$. Gọi $M$ là một điểm cách đỉnh $S$ của hình nón một đoạn bằng $6$ và cách đường cao $SO$ một khoảng bằng $2$. Gọi $l$ là một đường sinh của hình nón $\left( N \right)$ ; $x,y$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ $M$ đến $l$. Giá trị của biểu thức $T=x+y$ nằm trong khoảng nào sau đây?
A. $\left( 4 ; 5 \right)$.
B. $\left( 8 ; 9 \right)$.
C. $\left( 5 ; 6 \right)$.
D. $\left( 7 ; 8 \right)$.
Góc tại đỉnh hình nón: $\tan \alpha =\dfrac{r}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \alpha ={{30}^{0}}$.
Đặt $\widehat{MSO}=\beta \Rightarrow \sin \beta =\dfrac{d\left( M;SO \right)}{SM}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \text{cos}\beta \text{=}\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường sinh $l$. Khi đó ta có:
$d\left( M;l \right)=M{{N}_{\text{max}}}=MP=SM.\sin \left( \alpha +\beta \right)=x$
$d\left( M;l \right)=M{{N}_{\text{min}}}=MQ=SM.\sin \left( \alpha -\beta \right)=y$
Suy ra: $T=x+y=SM\left[ \sin \left( \alpha +\beta \right)+\sin \left( \alpha -\beta \right) \right]=2SM.\sin \alpha .\text{cos}\beta =\text{4}\sqrt{2}\approx 5,65$.
A. $\left( 4 ; 5 \right)$.
B. $\left( 8 ; 9 \right)$.
C. $\left( 5 ; 6 \right)$.
D. $\left( 7 ; 8 \right)$.
Đặt $\widehat{MSO}=\beta \Rightarrow \sin \beta =\dfrac{d\left( M;SO \right)}{SM}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \text{cos}\beta \text{=}\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường sinh $l$. Khi đó ta có:
$d\left( M;l \right)=M{{N}_{\text{max}}}=MP=SM.\sin \left( \alpha +\beta \right)=x$
$d\left( M;l \right)=M{{N}_{\text{min}}}=MQ=SM.\sin \left( \alpha -\beta \right)=y$
Suy ra: $T=x+y=SM\left[ \sin \left( \alpha +\beta \right)+\sin \left( \alpha -\beta \right) \right]=2SM.\sin \alpha .\text{cos}\beta =\text{4}\sqrt{2}\approx 5,65$.
Đáp án C.