Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có chiều cao bằng $6a$. Cắt $\left( N \right)$ bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng $3a$ ta được thiết diện có diện tích bằng $12\sqrt{11}{{a}^{2}}$. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A. $36\sqrt{5}\pi{{a}^{3}}$.
B. $270\pi{{a}^{3}}$.
C. $90\pi{{a}^{3}}$.
D. $12\sqrt{5}\pi{{a}^{3}}$.
Giả sử mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác $SBC$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot OI \\
& BC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOI \right)$.
Kẻ $OH\bot SI$ $\left( H\in SI \right)$, mà $OH\bot BC$
suy ra $OH\bot \left( SBC \right)$.
Theo giả thiết có: $SO=6a$, ${{S}_{SBC}}=12\sqrt{11}{{a}^{2}}$ và $d\left( O; \left( SBC \right) \right)=OH=3a$.
Trong $\Delta SOI$ vuông tại $O$ có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}$ $\Rightarrow OI=2\sqrt{3}a$
$SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=4\sqrt{3}a$.
Ta có: ${{S}_{SBC}}=\dfrac{1}{2}SI.BC$ $\Rightarrow BC=\dfrac{2{{S}_{SBC}}}{SI}=2\sqrt{33}a$ $\Rightarrow IC=\dfrac{BC}{2}=\sqrt{33}a$.
Trong $\Delta OIC$ vuông tại $I$ có: $OC=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}}=3\sqrt{5}a=R$.
Vậy thể tích của khối nón đã cho là $V=\dfrac{1}{3}\pi\text{.}SO.O{{C}^{2}}=90\pi{{a}^{3}}$.
A. $36\sqrt{5}\pi{{a}^{3}}$.
B. $270\pi{{a}^{3}}$.
C. $90\pi{{a}^{3}}$.
D. $12\sqrt{5}\pi{{a}^{3}}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot OI \\
& BC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOI \right)$.
Kẻ $OH\bot SI$ $\left( H\in SI \right)$, mà $OH\bot BC$
suy ra $OH\bot \left( SBC \right)$.
Theo giả thiết có: $SO=6a$, ${{S}_{SBC}}=12\sqrt{11}{{a}^{2}}$ và $d\left( O; \left( SBC \right) \right)=OH=3a$.
Trong $\Delta SOI$ vuông tại $O$ có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}$ $\Rightarrow OI=2\sqrt{3}a$
$SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=4\sqrt{3}a$.
Ta có: ${{S}_{SBC}}=\dfrac{1}{2}SI.BC$ $\Rightarrow BC=\dfrac{2{{S}_{SBC}}}{SI}=2\sqrt{33}a$ $\Rightarrow IC=\dfrac{BC}{2}=\sqrt{33}a$.
Trong $\Delta OIC$ vuông tại $I$ có: $OC=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}}=3\sqrt{5}a=R$.
Vậy thể tích của khối nón đã cho là $V=\dfrac{1}{3}\pi\text{.}SO.O{{C}^{2}}=90\pi{{a}^{3}}$.
Đáp án C.