Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đường cao $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; bán kính đáy $r=1$ ; gọi $A B(0<A B<2)$ là một dây cung của đường tròn đáy và $\alpha$ là góc giữa mặt phằng $(S A B)$ với mặt phẳng chứa đáy hình nón. Biết diện tích tam giác $S A B$ bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{3}\right]$.
B. $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5 \pi}{12}\right)$.
C. $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{12} ; \dfrac{\pi}{6}\right]$.
D. $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{4}\right]$.
Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy, $H$ là hình chiếu của $O$ lên $A B$ thì $H$ là trung điểm của $A B$.
Đặt $x=O H$ ta có $0<x<1$.
Ta có: $H B=\sqrt{O B^2-O H^2}=\sqrt{1-x^2}, S H=\sqrt{S O^2+O H^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}+x^2}$.
Ta có: $S_{S A B}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} S H \cdot A B=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sqrt{1-x^2} \cdot \sqrt{\dfrac{3}{4}+x^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4} x^2-x^4=\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} x^2=x^4 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ (vì) $x>0$
Do đó: $\tan \alpha=\tan \widehat{S H O}=\dfrac{S O}{O H}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{3} \Rightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{3} \in\left(\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{3}\right]$.
A. $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{3}\right]$.
B. $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5 \pi}{12}\right)$.
C. $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{12} ; \dfrac{\pi}{6}\right]$.
D. $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{4}\right]$.
Đặt $x=O H$ ta có $0<x<1$.
Ta có: $H B=\sqrt{O B^2-O H^2}=\sqrt{1-x^2}, S H=\sqrt{S O^2+O H^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}+x^2}$.
Ta có: $S_{S A B}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} S H \cdot A B=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sqrt{1-x^2} \cdot \sqrt{\dfrac{3}{4}+x^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4} x^2-x^4=\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} x^2=x^4 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ (vì) $x>0$
Do đó: $\tan \alpha=\tan \widehat{S H O}=\dfrac{S O}{O H}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{3} \Rightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{3} \in\left(\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{3}\right]$.
Đáp án A.