Google
Câu hỏi: Cho hình nón có đỉnh $S$, trục $S O$, bán kính $R$, chiều cao $h$. Dây cung $A B$ thuộc đường tròn đáy và cách $O$ một khoảng $\dfrac{R}{2}$ như hình vẽ. Ký hiệu $S_1, S_2$ lần lượt là diện tích xung quanh của hình nón và diện tích tam giác $S A B$. Biết $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{10 \pi}{3 \sqrt{3}}$, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $h=\dfrac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} R$.
B. $h=\dfrac{\sqrt{11}}{8} R$.
C. $h=(\sqrt{2}-1) R$.
D. $h=\dfrac{1}{3} R$.
B. $h=\dfrac{\sqrt{11}}{8} R$.
C. $h=(\sqrt{2}-1) R$.
D. $h=\dfrac{1}{3} R$.
Gọi $I$ là trung điểm của $A B$. Ta có $O I \perp A B$ tại $I \Rightarrow d(O$ ? ; $A B)=O I=\dfrac{R}{2}$
Đường sinh của hình nón $\ell=S B=S A=\sqrt{R^2+h^2}$.
Khi đó $S_1=\pi R \ell=\pi R \sqrt{R^2+h^2}$.
Áp dụng định lý Pytago ta được
$S I=\sqrt{S O^2+O I^2}=\sqrt{h^2+\dfrac{R^2}{4}}$ và $I A=\sqrt{O A^2-O I^2}=\dfrac{R \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A B=R \sqrt{3}$.
Khi đó $S_2=\dfrac{1}{2} A B . S I=\dfrac{1}{2} R \sqrt{3} \cdot \sqrt{h^2+\dfrac{R^2}{4}}$.
Theo đề $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{10 \pi}{3 \sqrt{3}} \Leftrightarrow 3 \sqrt{3} \cdot \pi R \sqrt{R^2+h^2}=10 \pi \cdot \dfrac{R \sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{h^2+\dfrac{R^2}{4}} \Rightarrow h=\dfrac{R \sqrt{11}}{8}$.
Đường sinh của hình nón $\ell=S B=S A=\sqrt{R^2+h^2}$.
Khi đó $S_1=\pi R \ell=\pi R \sqrt{R^2+h^2}$.
Áp dụng định lý Pytago ta được
$S I=\sqrt{S O^2+O I^2}=\sqrt{h^2+\dfrac{R^2}{4}}$ và $I A=\sqrt{O A^2-O I^2}=\dfrac{R \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A B=R \sqrt{3}$.
Khi đó $S_2=\dfrac{1}{2} A B . S I=\dfrac{1}{2} R \sqrt{3} \cdot \sqrt{h^2+\dfrac{R^2}{4}}$.
Theo đề $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{10 \pi}{3 \sqrt{3}} \Leftrightarrow 3 \sqrt{3} \cdot \pi R \sqrt{R^2+h^2}=10 \pi \cdot \dfrac{R \sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{h^2+\dfrac{R^2}{4}} \Rightarrow h=\dfrac{R \sqrt{11}}{8}$.
Đáp án B.