Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $SABCD$ biết $SA\bot \left( ABCD \right)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=3a,AD=4a$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SD$. Mặt phẳng $\left( AHK \right)$ hợp với mặt đáy một góc ${{30}^{\circ }}$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $20\sqrt{3}{{a}^{3}}$
B. $20\sqrt{3}{{a}^{2}}$
C. $\dfrac{20a\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
D. $60\sqrt{3}{{a}^{3}}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SA \\
& CD\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AK$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot SC$
$\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SD \\
& AK\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AK\bot SC$
Như vậy:
$\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SC \\
& AH\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SC\bot \left( AKH \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot \left( ABCD \right) \\
& SC\bot \left( AKH \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( AKH \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SA,SC} \right)=\widehat{ASC}={{30}^{0}}$
Trong tam giác vuông $SAC$ có: $SA=\dfrac{AC}{\tan {{30}^{0}}}=\dfrac{5a}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}a$
Vậy: Thể tích khối chóp đã cho là:
$V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.AB.AD.SA=\dfrac{1}{3}.3a.4a.5\sqrt{3}a=20\sqrt{3}{{a}^{3}}$
A. $20\sqrt{3}{{a}^{3}}$
B. $20\sqrt{3}{{a}^{2}}$
C. $\dfrac{20a\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
D. $60\sqrt{3}{{a}^{3}}$
& BC\bot SA \\
& BC\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SA \\
& CD\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AK$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot SC$
$\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SD \\
& AK\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AK\bot SC$
Như vậy:
$\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SC \\
& AH\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SC\bot \left( AKH \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot \left( ABCD \right) \\
& SC\bot \left( AKH \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( AKH \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SA,SC} \right)=\widehat{ASC}={{30}^{0}}$
Trong tam giác vuông $SAC$ có: $SA=\dfrac{AC}{\tan {{30}^{0}}}=\dfrac{5a}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}a$
Vậy: Thể tích khối chóp đã cho là:
$V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.AB.AD.SA=\dfrac{1}{3}.3a.4a.5\sqrt{3}a=20\sqrt{3}{{a}^{3}}$
Đáp án A.