Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $SABCD$ biết $SA\bot \left( ABCD \right)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=3a,AD=4a$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SD$. Mặt phẳng $\left( AHK \right)$ hợp với mặt đáy một góc ${{30}^{\circ }}$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $20\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
B. $60\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{20a\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $20\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( AHK \right)$ và $\left( ABCD \right)$.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$
$\left. \begin{aligned}
& \Rightarrow BC\bot AH \\
& v\grave{a}AH\bot SB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot SC$ (1)
Tương tự ta có: $AK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AK\bot SC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\left( AHK \right)\bot SC$ và $\left( ABCD \right)\bot SA$ nên $\varphi =\widehat{ASC}={{30}^{\circ }}$
Ta có: $AC=\sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}=5a$. $SA=\dfrac{AC}{\tan \varphi }=5\sqrt{3}a$.
Vậy ${{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.3a.4a.5\sqrt{3}a=20\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
A. $20\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
B. $60\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{20a\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $20\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$
$\left. \begin{aligned}
& \Rightarrow BC\bot AH \\
& v\grave{a}AH\bot SB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot SC$ (1)
Tương tự ta có: $AK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AK\bot SC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\left( AHK \right)\bot SC$ và $\left( ABCD \right)\bot SA$ nên $\varphi =\widehat{ASC}={{30}^{\circ }}$
Ta có: $AC=\sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}=5a$. $SA=\dfrac{AC}{\tan \varphi }=5\sqrt{3}a$.
Vậy ${{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.3a.4a.5\sqrt{3}a=20\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án D.
