Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc $30{}^\circ $. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
C. ${{a}^{3}}\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
Có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC,\left( SAB \right) \right)}=\widehat{\left( SC,SB \right)}=\widehat{BSC}=30{}^\circ $.
Xét $\Delta SBC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow SB=\dfrac{BC}{\tan {{30}^{{}^\circ }}}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=a\sqrt{3}$.
Suy ra $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
C. ${{a}^{3}}\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC,\left( SAB \right) \right)}=\widehat{\left( SC,SB \right)}=\widehat{BSC}=30{}^\circ $.
Xét $\Delta SBC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow SB=\dfrac{BC}{\tan {{30}^{{}^\circ }}}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=a\sqrt{3}$.
Suy ra $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án A.