Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ tâm $O$, $SA=2a\sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với trung điểm của cạnh $OA$, biết tam giác $SBD$ vuông tại S. Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{3a\sqrt{5}}{10}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{4a\sqrt{10}}{5}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{10}}{5}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $OA$.
Qua $H$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC$ tại $L$.
Trong $\left( SHL \right)$ vẽ $HK$ vuông góc với $SL$.
$\left. \begin{aligned}
& HK\bot SL \\
& HK\bot BC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow HK\bot (SBC)\Rightarrow d\left( H,\left( SBC \right) \right)=HK.$
Ta có: $\Delta SHD=\Delta SHB\left( cgc-cgc \right)$, suy ra $\Delta SBD$ vuông cân tại $S$.
Lại có: $H$ là trung điểm của $OA$ và $SH\bot OA$ ( Vì: $SH\bot (ABCD)$ ).
Do đó $\Delta SAO$ cân tại $S$.
Suy ra: $SA=SO=OB=OD=2a\sqrt{2}$ nên: $BD=4a\sqrt{2}=AC\Rightarrow AH=a\sqrt{2}$
Vậy, cạnh của hình vuông có $AD=DC=AB=BC=4a$ và $SH=\sqrt{S{{O}^{2}}-H{{O}^{2}}}=a\sqrt{6}$
Mặt khác:
$\begin{aligned}
& HL//AB\Rightarrow \dfrac{CH}{AC}=\dfrac{HL}{AB}=\dfrac{3}{4} \\
& \Rightarrow d(H,(SBC))=\dfrac{3}{4}d(A,(SBC))=\dfrac{3}{4}d(D,(SBC)) \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& d(H,(SBC))=HP=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{L}^{2}}}}}=\dfrac{3a\sqrt{10}}{5} \\
& \Rightarrow d(D,(SBC))=\dfrac{4a\sqrt{10}}{5} \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{3a\sqrt{5}}{10}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{4a\sqrt{10}}{5}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{10}}{5}$.
Qua $H$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC$ tại $L$.
Trong $\left( SHL \right)$ vẽ $HK$ vuông góc với $SL$.
$\left. \begin{aligned}
& HK\bot SL \\
& HK\bot BC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow HK\bot (SBC)\Rightarrow d\left( H,\left( SBC \right) \right)=HK.$
Ta có: $\Delta SHD=\Delta SHB\left( cgc-cgc \right)$, suy ra $\Delta SBD$ vuông cân tại $S$.
Lại có: $H$ là trung điểm của $OA$ và $SH\bot OA$ ( Vì: $SH\bot (ABCD)$ ).
Do đó $\Delta SAO$ cân tại $S$.
Suy ra: $SA=SO=OB=OD=2a\sqrt{2}$ nên: $BD=4a\sqrt{2}=AC\Rightarrow AH=a\sqrt{2}$
Vậy, cạnh của hình vuông có $AD=DC=AB=BC=4a$ và $SH=\sqrt{S{{O}^{2}}-H{{O}^{2}}}=a\sqrt{6}$
Mặt khác:
$\begin{aligned}
& HL//AB\Rightarrow \dfrac{CH}{AC}=\dfrac{HL}{AB}=\dfrac{3}{4} \\
& \Rightarrow d(H,(SBC))=\dfrac{3}{4}d(A,(SBC))=\dfrac{3}{4}d(D,(SBC)) \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& d(H,(SBC))=HP=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{L}^{2}}}}}=\dfrac{3a\sqrt{10}}{5} \\
& \Rightarrow d(D,(SBC))=\dfrac{4a\sqrt{10}}{5} \\
\end{aligned}$
Đáp án C.