Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=a\sqrt{3},AB=AC=2a,BC=3a.$ Thể tích của khối $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{35}{{a}^{3}}}{2}.$
S
C. $\dfrac{\sqrt{35}{{a}^{3}}}{6}.$
D. $\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{4}.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Do $SA=SB=SC$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta ABC$.
Áp dụng công thức Hê – rông tính diện tích $\Delta ABC$ ta được: ${{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}$. (với $p$ là nửa chu vi).
Sử dụng công thức $S=\dfrac{abc}{4R}$ ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta ABC$ là $R=AH=\dfrac{4a\sqrt{7}}{7}$.
Xét $\Delta HAS$ có $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a\sqrt{\dfrac{5}{7}}$.
Khi đó ta có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}.a\sqrt{\dfrac{5}{7}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}$.
A. $\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{35}{{a}^{3}}}{2}.$
S
C. $\dfrac{\sqrt{35}{{a}^{3}}}{6}.$
D. $\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{4}.$
Do $SA=SB=SC$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta ABC$.
Áp dụng công thức Hê – rông tính diện tích $\Delta ABC$ ta được: ${{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}$. (với $p$ là nửa chu vi).
Sử dụng công thức $S=\dfrac{abc}{4R}$ ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta ABC$ là $R=AH=\dfrac{4a\sqrt{7}}{7}$.
Xét $\Delta HAS$ có $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a\sqrt{\dfrac{5}{7}}$.
Khi đó ta có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}.a\sqrt{\dfrac{5}{7}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}$.
Đáp án D.