Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, độ dài $SA$ bằng $a$ Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, dựng $AH\bot SM$, khi đó ta hoàn toàn chứng minh được $AH\bot \left( SBC \right)$. Thật vậy:
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot AH$.
Từ và suy ra $AH\bot \left( SBC \right)$.
Ta có: $AM=a\sqrt{3}$, $AS=a$, suy ra $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $d\left( A, \left( SBC \right) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot AH$.
Từ và suy ra $AH\bot \left( SBC \right)$.
Ta có: $AM=a\sqrt{3}$, $AS=a$, suy ra $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $d\left( A, \left( SBC \right) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D.