Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$...

Ta có công thức tính thể tích hình chóp $S \cdot A B C: V_{S \cdot A B C}=\dfrac{1}{3} \cdot S H \cdot S_{A B C} \Leftrightarrow \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6}=\dfrac{1}{3} \cdot S H \cdot \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \Leftrightarrow$ $S H=a \sqrt{2}$.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông $A B C$, ta được $A H=B H=\dfrac{A C}{2}=$ $\dfrac{\sqrt{a^2+3 a^2}}{2}=a$
Suy $\operatorname{ra} S A=S B=\sqrt{2 a^2+a^2}=a \sqrt{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm $A B$. Vì tam giác $S A B$ cân tại $S$ nên:
$S_{S A B}=\dfrac{1}{2} S M \cdot A B=\dfrac{1}{2} a \cdot \sqrt{3 a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a^2 \sqrt{11}}{4}$.
Áp dụng công thức tính khoảng cách theo thể tích: $d_{(C ;(S A B))}=\dfrac{3 V_{C . S A B}}{S_{S A B}}=\dfrac{a^3 \sqrt{6}}{2}: \dfrac{a^2 \sqrt{11}}{4}=\dfrac{2 a \sqrt{66}}{11}$.
Cách 2. Dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Ta có công thức tính thể tích hình chóp $S \cdot A B C: V_{S \cdot A B C}=\dfrac{1}{3} \cdot S H \cdot S_{A B C} \Leftrightarrow \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6}=\dfrac{1}{3} \cdot S H \cdot \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \Leftrightarrow$ $S H=a \sqrt{2}$
Gọi $M$ là trung điểm $A B$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $S M$. Ta có $H K \perp S M$.
$
\left\{\begin{array}{l}
A B \perp S H \\
A B \perp H M(d o H M / / B C)
\end{array} \Leftrightarrow A B \perp(S H M) \Rightarrow A B \perp H K\right.
$
Ta được $H K \perp(S A B) \Rightarrow d_{(H ;(S A B))}=H K=\dfrac{H M \cdot H S}{\sqrt{H M^2+H S^2}}=\dfrac{\dfrac{a \sqrt{3}}{2} \cdot a \sqrt{2}}{\sqrt{\dfrac{3 a^2}{4}+2 a^2}}=\dfrac{a \sqrt{66}}{11}$.
Suy $\operatorname{ra} d_{(C ;(S A B))}=2 d_{(H ;(S A B))}=\dfrac{2 a \sqrt{66}}{11}$.