Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $A, A B=A C=2 a$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $A B C$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $A B$. Biết $S H=a$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $S A$ và $B C$ là
A. $\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{2 a \sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{4 a \sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Dựng hình bình hành $A C B E$.
Ta có $B C / / A E \Rightarrow B C / /(S A E) \Rightarrow d_{(B C, S A)}=d_{(B C,(S A E))}=d_{B,(S A E))}=2 \cdot d_{(H,(S A E))}$.
Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A E, A M, K$ là hình chiếu của $H$ lên $S N$.
Tam giác $A B E$ vuông cân tại $B$ suy ra $B M \perp A E \Rightarrow H N \perp A E$. Mà $S H \perp A E \Rightarrow H K \perp A E$.
Măt khác $H K \perp S N \Rightarrow H K \perp(S A E) \Rightarrow d_{(H,(S A E))}=H K$.
Xét tam giác vuông $S H N$ suy ra $\dfrac{1}{H K^2}=\dfrac{1}{H S^2}+\dfrac{1}{H N^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2} \Rightarrow H K=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
Vậy $d_{(B C, S A)}=\dfrac{2 a \sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{2 a \sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{4 a \sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Ta có $B C / / A E \Rightarrow B C / /(S A E) \Rightarrow d_{(B C, S A)}=d_{(B C,(S A E))}=d_{B,(S A E))}=2 \cdot d_{(H,(S A E))}$.
Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A E, A M, K$ là hình chiếu của $H$ lên $S N$.
Tam giác $A B E$ vuông cân tại $B$ suy ra $B M \perp A E \Rightarrow H N \perp A E$. Mà $S H \perp A E \Rightarrow H K \perp A E$.
Măt khác $H K \perp S N \Rightarrow H K \perp(S A E) \Rightarrow d_{(H,(S A E))}=H K$.
Xét tam giác vuông $S H N$ suy ra $\dfrac{1}{H K^2}=\dfrac{1}{H S^2}+\dfrac{1}{H N^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2} \Rightarrow H K=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
Vậy $d_{(B C, S A)}=\dfrac{2 a \sqrt{3}}{3}$.
Đáp án B.