Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có chiều cao bằng $a$, cạnh đáy bằng $a\sqrt{3}$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}a$.
B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{15}a$.
C. $\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}a$.
- Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$ và $I$ là trung điểm của $BC$. Trong mặt phẳng $\left( SAI \right)$ kẻ $AH$ vuông góc với $SI$ tại $H$. Khi đó ta có, $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot OA \\
& BC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAO \right)\Rightarrow AH\bot BC $ mà $ AH\bot SI $ nên $ AH\bot \left( SBC \right) $. Vậy $ AH=d\left( A; \left( SBC \right) \right)$.
- Xét tam giác $SAI$ có $AI=\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{2}$ suy ra $OA=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3a}{2}=a$ và $SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
- Ta có $AH.SI=SO.AI\Rightarrow AH=\dfrac{SO.AI}{SI}=\dfrac{a.\dfrac{3a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}a$.
B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{15}a$.
C. $\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}a$.
& BC\bot OA \\
& BC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAO \right)\Rightarrow AH\bot BC $ mà $ AH\bot SI $ nên $ AH\bot \left( SBC \right) $. Vậy $ AH=d\left( A; \left( SBC \right) \right)$.
- Xét tam giác $SAI$ có $AI=\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{2}$ suy ra $OA=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3a}{2}=a$ và $SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
- Ta có $AH.SI=SO.AI\Rightarrow AH=\dfrac{SO.AI}{SI}=\dfrac{a.\dfrac{3a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}a$.
Đáp án D.