Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABC$ với $O$ là tâm của đáy và có $SO=BC=a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{3a\sqrt{21}}{7}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{3a\sqrt{13}}{13}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{10}}{10}$.
Gọi $H=AO\cap BC$, $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $SH$.
Khi đó $BC\bot OH, BC\bot SO\Rightarrow BC\bot \left( SOH \right)\Rightarrow BC\bot OK$, suy ra $OK\bot \left( SBC \right)$.
Ta có $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3d\left( O,\left( SBC \right) \right)=3OK$.
Mặt khác $OH=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{12}{{{a}^{2}}}=\dfrac{13}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OK=\dfrac{a\sqrt{13}}{13}$.
Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3OK=\dfrac{3a\sqrt{13}}{13}$.
A. $\dfrac{3a\sqrt{21}}{7}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{3a\sqrt{13}}{13}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{10}}{10}$.
Khi đó $BC\bot OH, BC\bot SO\Rightarrow BC\bot \left( SOH \right)\Rightarrow BC\bot OK$, suy ra $OK\bot \left( SBC \right)$.
Ta có $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3d\left( O,\left( SBC \right) \right)=3OK$.
Mặt khác $OH=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{12}{{{a}^{2}}}=\dfrac{13}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OK=\dfrac{a\sqrt{13}}{13}$.
Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3OK=\dfrac{3a\sqrt{13}}{13}$.
Đáp án C.