Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+3x+1$ có đồ thị $\left( C \right)$ ( $m$ là tham số thực). Số giá trị nguyên của $m$ để đồ thị $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $\Delta :y=x+1$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=8$ là
A. $2$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $3$.
A. $2$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $3$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+3x+1=x+1$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+2x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}-mx+2=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $\Delta :y=x+1$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thì ${{x}^{2}}-mx+2=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}-8>0 \\
& {{0}^{2}}-0+2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}>8$.
Khi đó ${{x}_{1}}=0; {{x}_{2}}$ và ${{x}_{3}}$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-mx+2=0$ $\Rightarrow {{x}_{2}}+{{x}_{3}}=m$
Do đó ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=8\Leftrightarrow 0+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=8$ $\Leftrightarrow m=8$ (thỏa mãn).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+2x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}-mx+2=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $\Delta :y=x+1$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thì ${{x}^{2}}-mx+2=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}-8>0 \\
& {{0}^{2}}-0+2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}>8$.
Khi đó ${{x}_{1}}=0; {{x}_{2}}$ và ${{x}_{3}}$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-mx+2=0$ $\Rightarrow {{x}_{2}}+{{x}_{3}}=m$
Do đó ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=8\Leftrightarrow 0+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=8$ $\Leftrightarrow m=8$ (thỏa mãn).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.