Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-7x$ có đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=2x+m$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm phân biệt. Số phần tử của $S$ là
A. $31$.
B. $26$.
C. $4$.
D. $5$.
A. $31$.
B. $26$.
C. $4$.
D. $5$.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và đường thẳng $d$ là
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-7x=2x+m\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x=m (1)$
Để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm phân biệt khi phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ đường thẳng $(\Delta ):y=m$ cắt đồ thị $(C'):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$ tại 3 điểm phân biệt
Xét hàm số: $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$, ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x-9, y'=0\Leftrightarrow x=-1,x=3$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta suy ra: $-27<m<5$.
Khi đó có 4 giá trị nguyên dương của $m$ thoả mãn bài toán là: $1; 2; 3; 4$
Vậy có 4 giá trị nguyên dương của tham số $m$ để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm phân biệt.
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-7x=2x+m\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x=m (1)$
Để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm phân biệt khi phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ đường thẳng $(\Delta ):y=m$ cắt đồ thị $(C'):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$ tại 3 điểm phân biệt
Xét hàm số: $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$, ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x-9, y'=0\Leftrightarrow x=-1,x=3$
Bảng biến thiên
Khi đó có 4 giá trị nguyên dương của $m$ thoả mãn bài toán là: $1; 2; 3; 4$
Vậy có 4 giá trị nguyên dương của tham số $m$ để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm phân biệt.
Đáp án C.
