Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn ${f}'\left( x...

Ta có: $g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+x \right|+2m+3 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\dfrac{x\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{\left| {{x}^{3}}+x \right|}.{f}'\left( \left| {{x}^{3}}+x \right|+2m+3 \right)$
Dễ thấy ${g}'\left( x \right)$ không xác định tại $x=0$ và khi qua $x=0$ thì ${g}'\left( x \right)$ đổi dấu nên $x=0$ là một điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$.
Để $g\left( x \right)$ có ít nhất 3 điểm cực trị thì ${f}'\left( \left| {{x}^{3}}+x \right|+2m+3 \right)=0$ cần có ít nhất $2$ nghiệm bội lẻ.
Và ${f}'\left( \left| {{x}^{3}}+x \right|+2m+3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+x \right|+2m+3=7 \\
& \left| {{x}^{3}}+x \right|+2m+3=-3 \\
& \left| {{x}^{3}}+x \right|+2m+3=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+x \right|=4-2m \\
& \left| {{x}^{3}}+x \right|=-6-2m \\
& \left| {{x}^{3}}+x \right|=-2m \\
\end{aligned} \right.$.
Dựa vào đồ thị hàm số:
Thì ta nhận thấy để $g\left( x \right)$ có ít nhất $3$ điểm cực trị khi: $4-2m>0\Leftrightarrow m<2$
Vậy có $1$ giá trị nguyên dương $m$ thỏa mãn.