Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left[ f\left( \left| x+1 \right| \right)-2 \right]=m$ có 10 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -3;3 \right]$.
A. $3$.
B. $1$.
C. $0$.
D. $2$.
A. $3$.
B. $1$.
C. $0$.
D. $2$.
Đặt $t=\left| x+1 \right|$. Vì $x\in \left[ -3; 3 \right]$ suy ra $t\in \left[ 0; 4 \right]$.
Với mỗi giá trị $t\in \left( 0; 2 \right]$ cho ta 2 nghiệm $x\in \left[ -3;3 \right]$.
Với mỗi giá trị $t\in \left\{ 0 \right\}\cup \left( 2; 4 \right]$ cho ta 1 nghiệm $x\in \left[ -3;3 \right]$.
Phương trình trở thành $f\left( f\left( t \right)-2 \right)=m$.
Xét hàm $g\left( t \right)=f\left( f\left( t \right)-2 \right)$ trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$.
${g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right).{f}'\left( f\left( t \right)-2 \right)$.
${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( t \right)=0 \\
& {f}'\left( f\left( t \right)-2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-1 (\text{L}) \\
& f\left( t \right)-2=-1 \\
& f\left( t \right)-2=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& f\left( t \right)=1 \\
& f\left( t \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t={{t}_{1}}>2 \\
& t={{t}_{2}}>{{t}_{1}}>2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy hàm số $g\left( t \right)=f\left( f\left( t \right)-2 \right)$ có tối đa 3 cực trị trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$. Suy ra phương trình $f\left( f\left( t \right)-2 \right)=m$ có tối đa 4 nghiệm $t$. Giả sử cả 4 nghiệm $t$ đó đều thuộc $\left( 0; 2 \right]$ thì cho tối đa 8 nghiệm $x$. Theo yêu cầu bài toán ra 10 nghiệm nên không có $m$ thỏa yêu cầu.
Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.
Với mỗi giá trị $t\in \left\{ 0 \right\}\cup \left( 2; 4 \right]$ cho ta 1 nghiệm $x\in \left[ -3;3 \right]$.
Phương trình trở thành $f\left( f\left( t \right)-2 \right)=m$.
Xét hàm $g\left( t \right)=f\left( f\left( t \right)-2 \right)$ trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$.
${g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right).{f}'\left( f\left( t \right)-2 \right)$.
${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( t \right)=0 \\
& {f}'\left( f\left( t \right)-2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-1 (\text{L}) \\
& f\left( t \right)-2=-1 \\
& f\left( t \right)-2=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& f\left( t \right)=1 \\
& f\left( t \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t={{t}_{1}}>2 \\
& t={{t}_{2}}>{{t}_{1}}>2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy hàm số $g\left( t \right)=f\left( f\left( t \right)-2 \right)$ có tối đa 3 cực trị trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$. Suy ra phương trình $f\left( f\left( t \right)-2 \right)=m$ có tối đa 4 nghiệm $t$. Giả sử cả 4 nghiệm $t$ đó đều thuộc $\left( 0; 2 \right]$ thì cho tối đa 8 nghiệm $x$. Theo yêu cầu bài toán ra 10 nghiệm nên không có $m$ thỏa yêu cầu.
Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.
Đáp án C.