Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-x+{{\log...

$f\left( f\left( x \right) \right)-x=0\Leftrightarrow f\left( f\left( x \right) \right)+f\left( x \right)=f\left( x \right)+x\left( * \right)$.
Xét hàm số $h\left( t \right)=f\left( t \right)+t=\dfrac{2}{3}{{t}^{3}}+{{\log }_{2}}m$
Ta có $h\left( t \right)=2{{t}^{2}}\ge {{0}^{{}}}\forall t\in \mathbb{R}$ nên $h\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$, khi đó:
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=x\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-2x+{{\log }_{2}}m=0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-2x+{{\log }_{2}}m\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x=-1 \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có bảng biến thiên:
Để $g\left( x \right)=0$ có ba nghiệm khi $g\left( 0 \right)g\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow \left( {{\log }_{2}}m+\dfrac{4}{3} \right)\left( {{\log }_{2}}m-\dfrac{4}{3} \right)<0\Leftrightarrow \dfrac{-4}{3}<{{\log }_{2}}m<\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow {{2}^{\dfrac{-4}{3}}}<m<{{2}^{\dfrac{4}{3}}}$.