Google
Câu hỏi: Biết phương trình ${{\log }_{2}}\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{{\log }_{3}}\left( \dfrac{\sqrt{x}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \right)$ có một nghiệm có dạng $x=a+b\sqrt{2}$ với $a, b$ là hai số nguyên. Tính ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$.
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 2.
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 2.
Xét phương trình: ${{\log }_{2}}\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{{\log }_{3}}\left( \dfrac{\sqrt{x}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \right) \left( 1 \right)$
Điều kiện: $x>1$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2\sqrt{x}+1 \right)+2{{\log }_{3}}\left( 2\sqrt{x} \right)={{\log }_{2}}\left[ \left( x-1 \right)+1 \right]+2{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( 2\sqrt{x} \right)=f\left( x-1 \right)$, với $f\left( t \right)={{\log }_{2}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{3}}t$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Suy ra, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2\sqrt{x}=x-1$ $\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-1=0$ $\overset{x>1}{\mathop{\Leftrightarrow }} x=3+2\sqrt{2}$ $\Rightarrow a=3, b=2$.
Điều kiện: $x>1$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2\sqrt{x}+1 \right)+2{{\log }_{3}}\left( 2\sqrt{x} \right)={{\log }_{2}}\left[ \left( x-1 \right)+1 \right]+2{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( 2\sqrt{x} \right)=f\left( x-1 \right)$, với $f\left( t \right)={{\log }_{2}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{3}}t$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Suy ra, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2\sqrt{x}=x-1$ $\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-1=0$ $\overset{x>1}{\mathop{\Leftrightarrow }} x=3+2\sqrt{2}$ $\Rightarrow a=3, b=2$.
Đáp án C.
