Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Bảng xét dấu của biểu thức ${f}'\left( x \right)$ như bảng dưới đây:
Hàm số $y=g\left( x \right)=\dfrac{f\left( {{x}^{2}}+2x \right)}{f\left( {{x}^{2}}+2x \right)+2}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -\infty ;-3 \right)$.
B. $\left( -3 ; 0 \right)$.
C. $\left( -2; -1 \right)$.
D. $\left( 0;+\infty \right)$.
A. $\left( -\infty ;-3 \right)$.
B. $\left( -3 ; 0 \right)$.
C. $\left( -2; -1 \right)$.
D. $\left( 0;+\infty \right)$.
${g}'\left( x \right)=\dfrac{2{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{\prime }}.{f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)}{{{\left( f\left( {{x}^{2}}+2x \right)+2 \right)}^{2}}}=\dfrac{2\left( 2x+2 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)}{{{\left( f\left( {{x}^{2}}+2x \right)+2 \right)}^{2}}}$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+2=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& {{x}^{2}}+2x=-3 \\
& {{x}^{2}}+2x=-1 \\
& {{x}^{2}}+2x=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$ :
Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( -3 ; -1 \right)$ và $\left( 1 ; +\infty \right)$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+2=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& {{x}^{2}}+2x=-3 \\
& {{x}^{2}}+2x=-1 \\
& {{x}^{2}}+2x=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$ :
Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( -3 ; -1 \right)$ và $\left( 1 ; +\infty \right)$.
Đáp án C.