Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ thỏa...

Đặt . Số cực trị của hàm số bằng số cực trị của hàm số cộng số nghiệm đơn của phương trình .
Ta có .
Giả sử hàm số không có cực trị, kết hợp với ta có đồng biến trên . Suy ra, (mâu thuẫn). Do đó, hàm số có hai cực trị ( ).
Từ đây ta lập được bảng biến thiên của hàm số .
Chỉ có thể xảy ra một trong 5 trường hợp dưới đây.
Trường hợp 1: (mâu thuẫn).
Trường hợp 2: (mâu thuẫn).
Trường hợp 3: có 3 nghiệm đơn. Do đó, hàm số có 5 điểm cực trị.
Trường hợp 4: có 3 nghiệm đơn. Do đó, hàm số có 5 điểm cực trị.
Trường hợp 5: có 3 nghiệm đơn. Do đó, hàm số có 5 điểm cực trị.
Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.