Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ thỏa mãn $a>0,d>2021,a+b+c+d-2021<0$. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right)-2021 \right|$ là
A. 4.
B. 2.
C. 5.
D. 6.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-2021=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d-2021$. Số cực trị của hàm số $y=\left| g\left( x \right) \right|$ bằng số cực trị của hàm số $y=g\left( x \right)$ cộng số nghiệm đơn của phương trình $g\left( x \right)=0$.
Ta có $g\left( 0 \right)=d-2021>0,g\left( 1 \right)=a+b+c+d-2021<0$.
Giả sử hàm số $y=g\left( x \right)$ không có cực trị, kết hợp với $a>0$ ta có $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Suy ra, $g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)$ (mâu thuẫn). Do đó, hàm số $y=g\left( x \right)$ có hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ ( ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ).
Từ đây ta lập được bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$.
Chỉ có thể xảy ra một trong 5 trường hợp dưới đây.
Trường hợp 1: ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0\Rightarrow g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)$ (mâu thuẫn).
Trường hợp 2: $1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)$ (mâu thuẫn).
Trường hợp 3: $0\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( {{x}_{1}} \right)\ge g\left( 0 \right)>0 \\
& g\left( {{x}_{2}} \right)\le g\left( 1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=0 $ có 3 nghiệm đơn. Do đó, hàm số $ y=\left| g\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị.
Trường hợp 4: $0\le {{x}_{1}}<1\le {{x}_{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( {{x}_{1}} \right)\ge g\left( 0 \right)>0 \\
& g\left( {{x}_{2}} \right)\le g\left( 1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=0 $ có 3 nghiệm đơn. Do đó, hàm số $ y=\left| g\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị.
Trường hợp 5: ${{x}_{1}}\le 0<{{x}_{2}}\le 1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( {{x}_{1}} \right)\ge g\left( 0 \right)>0 \\
& g\left( {{x}_{2}} \right)\le g\left( 1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=0 $ có 3 nghiệm đơn. Do đó, hàm số $ y=\left| g\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị.
Vậy hàm số $y=\left| f\left( x \right)-2021 \right|$ có 5 điểm cực trị.
A. 4.
B. 2.
C. 5.
D. 6.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-2021=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d-2021$. Số cực trị của hàm số $y=\left| g\left( x \right) \right|$ bằng số cực trị của hàm số $y=g\left( x \right)$ cộng số nghiệm đơn của phương trình $g\left( x \right)=0$.
Ta có $g\left( 0 \right)=d-2021>0,g\left( 1 \right)=a+b+c+d-2021<0$.
Giả sử hàm số $y=g\left( x \right)$ không có cực trị, kết hợp với $a>0$ ta có $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Suy ra, $g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)$ (mâu thuẫn). Do đó, hàm số $y=g\left( x \right)$ có hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ ( ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ).
Từ đây ta lập được bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$.
Trường hợp 1: ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0\Rightarrow g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)$ (mâu thuẫn).
Trường hợp 2: $1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow g\left( 0 \right)<g\left( 1 \right)$ (mâu thuẫn).
Trường hợp 3: $0\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( {{x}_{1}} \right)\ge g\left( 0 \right)>0 \\
& g\left( {{x}_{2}} \right)\le g\left( 1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=0 $ có 3 nghiệm đơn. Do đó, hàm số $ y=\left| g\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị.
Trường hợp 4: $0\le {{x}_{1}}<1\le {{x}_{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( {{x}_{1}} \right)\ge g\left( 0 \right)>0 \\
& g\left( {{x}_{2}} \right)\le g\left( 1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=0 $ có 3 nghiệm đơn. Do đó, hàm số $ y=\left| g\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị.
Trường hợp 5: ${{x}_{1}}\le 0<{{x}_{2}}\le 1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( {{x}_{1}} \right)\ge g\left( 0 \right)>0 \\
& g\left( {{x}_{2}} \right)\le g\left( 1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=0 $ có 3 nghiệm đơn. Do đó, hàm số $ y=\left| g\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị.
Vậy hàm số $y=\left| f\left( x \right)-2021 \right|$ có 5 điểm cực trị.
Đáp án C.