Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có...

Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( -1 \right)=0 \\
& {f}'\left( 1 \right)=0 \\
& f\left( -1 \right)=4 \\
& f\left( 1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a-2b+c=0 \\
& 3a+2b+c=0 \\
& -a+b-c+d=4 \\
& a+b+c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
& c=-3 \\
& d=2. \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+2\Rightarrow f\left( 0 \right)=2$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ suy ra bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)=f\left( x-1 \right)$ như sau
Ta cũng có $g\left( 1 \right)=f\left( 0 \right)=2$ và phương trình $g\left( x \right)+2=0$ có duy nhất một nghiệm $x=a<0.$
Từ bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ ta suy ra bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)=\left| f\left( x-1 \right)+2 \right|$ như sau
Do đó phương trình $\left| f\left( x-1 \right)+2 \right|=m$ có $4$ nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}}$ khi và chỉ khi $4<m<6$.