Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị là $\left( C \right)$ và hàm số $y=g\left( x \right)=-f\left( mx+1 \right) , m>0$ ( như hình vẽ ). Với giá trị nào của $m$ để hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng $3$ ?
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $\dfrac{2}{5}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Từ đồ thị ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& g\left( x \right)=-f\left( mx+1 \right) \Rightarrow {g}'\left( x \right)=-m.{f}'\left( mx+1 \right) \\
& {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow m.{f}'\left( mx+1 \right)=0 \left( m>0 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& mx+1=0 \\
& mx+1=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{-1}{m} \\
& x=\dfrac{1}{m} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$
Hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( \dfrac{-1}{m} ; \dfrac{1}{m} \right)$.
Để hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng $3$ thì$$ $\dfrac{1}{m}-\dfrac{-1}{m}=3\Leftrightarrow \dfrac{2}{m}=3\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}$.
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $\dfrac{2}{5}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& g\left( x \right)=-f\left( mx+1 \right) \Rightarrow {g}'\left( x \right)=-m.{f}'\left( mx+1 \right) \\
& {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow m.{f}'\left( mx+1 \right)=0 \left( m>0 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& mx+1=0 \\
& mx+1=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{-1}{m} \\
& x=\dfrac{1}{m} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$
Để hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng $3$ thì$$ $\dfrac{1}{m}-\dfrac{-1}{m}=3\Leftrightarrow \dfrac{2}{m}=3\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án A.
