Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=x^4+b x^2+c$ sao cho hàm số $g(x)=\dfrac{f(x)}{x^2+1}$ đạt cực trị tại điểm $x=-1$. Gọi $y=h(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị qua tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=g(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=g(x)$ và $y=h(x)$ bằng
A. $\dfrac{64}{15}$.
B. $2 \pi-\dfrac{8}{3}$.
C. $\dfrac{128}{15}$.
D. $4 \pi-\dfrac{16}{3}$.
A. $\dfrac{64}{15}$.
B. $2 \pi-\dfrac{8}{3}$.
C. $\dfrac{128}{15}$.
D. $4 \pi-\dfrac{16}{3}$.
${{g}^{\prime }}(x)=\dfrac{{{f}^{\prime }}(x)\cdot \left( {{x}^{2}}+1 \right)-2x\cdot f(x)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 4{{x}^{3}}+2bx \right)-2x\left( {{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{2x\left[ \left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 2{{x}^{2}}+b \right)-{{x}^{4}}-b{{x}^{2}}-c \right]}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2x\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+b-c \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow x=-1\Rightarrow 3+b-c=0\Leftrightarrow b-c=-3$
Suy ra $\left( {{x}^{2}}+1 \right)\cdot {{f}^{\prime }}(x)-2x\cdot f(x)=2x\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3 \right)$
$y=\dfrac{(f(x))^{\prime}}{\left(x^2+1\right)^{\prime}}=\dfrac{f^{\prime}(x)}{2 x}=\dfrac{4 x^3+2 b x}{2 x}=2 x^2+b$ bậc hai nên $h(x)=\dfrac{f^{\prime}(x)}{2 x}=2 x^2+b$.
Xét $g(x)=h(x) \Leftrightarrow \dfrac{f^{\prime}(x)}{2 x}-\dfrac{f(x)}{x^2+1}=0 \Leftrightarrow \dfrac{\left(x^2+1\right) \cdot f^{\prime}(x)-2 x \cdot f(x)}{2 x\left(x^2+1\right)}=0 \Leftrightarrow \dfrac{x^4+2 x^2-3}{x^2+1}=0 \Leftrightarrow x= \pm 1$
$\Rightarrow S=\int_{-1}^1|g(x)-h(x)| d x=\int_{-1}^1\left|\dfrac{x^4+2 x^2-3}{x^2+1}\right| d x=2 \pi-\dfrac{8}{3}$. Chọn đáp án B.
$=\dfrac{2x\left[ \left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 2{{x}^{2}}+b \right)-{{x}^{4}}-b{{x}^{2}}-c \right]}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2x\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+b-c \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow x=-1\Rightarrow 3+b-c=0\Leftrightarrow b-c=-3$
Suy ra $\left( {{x}^{2}}+1 \right)\cdot {{f}^{\prime }}(x)-2x\cdot f(x)=2x\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3 \right)$
$y=\dfrac{(f(x))^{\prime}}{\left(x^2+1\right)^{\prime}}=\dfrac{f^{\prime}(x)}{2 x}=\dfrac{4 x^3+2 b x}{2 x}=2 x^2+b$ bậc hai nên $h(x)=\dfrac{f^{\prime}(x)}{2 x}=2 x^2+b$.
Xét $g(x)=h(x) \Leftrightarrow \dfrac{f^{\prime}(x)}{2 x}-\dfrac{f(x)}{x^2+1}=0 \Leftrightarrow \dfrac{\left(x^2+1\right) \cdot f^{\prime}(x)-2 x \cdot f(x)}{2 x\left(x^2+1\right)}=0 \Leftrightarrow \dfrac{x^4+2 x^2-3}{x^2+1}=0 \Leftrightarrow x= \pm 1$
$\Rightarrow S=\int_{-1}^1|g(x)-h(x)| d x=\int_{-1}^1\left|\dfrac{x^4+2 x^2-3}{x^2+1}\right| d x=2 \pi-\dfrac{8}{3}$. Chọn đáp án B.
Đáp án B.
