Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết...

+) Ta có $\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \sin 2 x \cdot f\left(\cos ^2 x\right) \mathrm{d} x=1(*)$
Đặt $t=\cos ^2 x \Rightarrow \mathrm{d} t=-2 \cos x \cdot \sin x . \mathrm{d} x=-\sin 2 x . \mathrm{d} x$
Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow t=1 \\ x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t=0\end{array}\right.$. Từ $(*)$ suy ra $-\int_1^0 f(t) \mathrm{d} t=1 \Leftrightarrow \int_0^1 f(t) \mathrm{d} t=1$.
+) Xét tích phân $\int_0^1 f(1-x) \mathrm{d} x$.
Đặt $t=1-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x$
Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow t=1 \\ x=1 \Rightarrow t=0\end{array} . \Rightarrow \int_0^1 f(1-x) \mathrm{d} x=-\int_1^0 f(t) \mathrm{d} t=\int_0^1 f(t) \mathrm{d} t=1\right.$
Vậy $I=\int_0^1\left[2 f(1-x)-3 x^2+5\right] \mathrm{d} x=2 \int_0^1 f(1-x) \mathrm{d} x+\int_0^1\left(-3 x^2+5\right) \mathrm{d} x=2 \int_0^1 f(1-$
x) $\mathrm{d} x+4$
$=2.1+4=6$.