Google
Câu hỏi: Xét hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0 ; 1]$ và thỏa $2 f(x)+3 f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$.Tính $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$.
A. $\dfrac{\pi}{6}$.
B. $\dfrac{\pi}{20}$.
C. $\dfrac{\pi}{16}$.
D. $\dfrac{\pi}{4}$.
A. $\dfrac{\pi}{6}$.
B. $\dfrac{\pi}{20}$.
C. $\dfrac{\pi}{16}$.
D. $\dfrac{\pi}{4}$.
Ta có: $\int_0^1[2 f(x)+3 f(1-x)] \mathrm{d} x=\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x \Leftrightarrow A+B=C$.
Tính: $C=\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x$
Đặt $x=\sin t$ suy ra $\mathrm{d} x=\cos t \mathrm{~d} t$. Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=0 ; x=1 \Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}$.
Vậy: $C=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \cos ^2 t \mathrm{~d} t=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{1+\cos 2 \mathrm{t}}{2} \mathrm{~d} t=\left.\left(\dfrac{1}{2} t+\dfrac{1}{4} \sin 2 t\right)\right|_0 ^{\dfrac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4}$.
Tính: $B=\int_0^1 3 f(1-x) \mathrm{d} x$
Đặt: Đặt $t=1-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x$. Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=-1 ; x=1 \Rightarrow t=0$.
Vậy: $B=\int_0^1 3 f(t) \mathrm{d} t=\int_0^1 3 f(x) \mathrm{d} x$.
Do đó: $\int_0^1[2 f(x)+3 f(x)] \mathrm{d} x=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow 5 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{\pi}{20}$.
Tính: $C=\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x$
Đặt $x=\sin t$ suy ra $\mathrm{d} x=\cos t \mathrm{~d} t$. Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=0 ; x=1 \Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}$.
Vậy: $C=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \cos ^2 t \mathrm{~d} t=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{1+\cos 2 \mathrm{t}}{2} \mathrm{~d} t=\left.\left(\dfrac{1}{2} t+\dfrac{1}{4} \sin 2 t\right)\right|_0 ^{\dfrac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4}$.
Tính: $B=\int_0^1 3 f(1-x) \mathrm{d} x$
Đặt: Đặt $t=1-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x$. Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=-1 ; x=1 \Rightarrow t=0$.
Vậy: $B=\int_0^1 3 f(t) \mathrm{d} t=\int_0^1 3 f(x) \mathrm{d} x$.
Do đó: $\int_0^1[2 f(x)+3 f(x)] \mathrm{d} x=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow 5 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{\pi}{20}$.
Đáp án B.