Google
Câu hỏi: Cho $f(x)$ xác định, liên tục trên $[0 ; 4]$ thỏa mãn $f(x)+f(4-x)=-x^2+4 x$. Giá trị của $\int_0^4 f(x) \mathrm{d} x$ bằng
A. 32 .
B. $\dfrac{16}{3}$.
C. 16 .
D. $\dfrac{32}{3}$.
A. 32 .
B. $\dfrac{16}{3}$.
C. 16 .
D. $\dfrac{32}{3}$.
Xét tích phân $I=\int_0^4 f(x) \mathrm{d} x$.
Đặt $t=4-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x$.
Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=4 ; x=4 \Rightarrow t=0$.
Khi đó $I=\int_0^4 f(4-t) \mathrm{d} t=\int_0^4 f(4-x) \mathrm{d} x$.
Suy ra $2 I=\int_0^4 f(x) \mathrm{d} x+\int_0^4 f(4-x) \mathrm{d} x=\int_0^4[f(x)+f(4-x)] \mathrm{d} x$
$=\int_0^4\left(-x^2+4 x\right) \mathrm{d} x=\left.\left(-\dfrac{x^3}{3}+2 x^2\right)\right|_0 ^4=\dfrac{32}{3} \Rightarrow I=\dfrac{16}{3}$.
Vậy $I=\dfrac{16}{3}$.
Đặt $t=4-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x$.
Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=4 ; x=4 \Rightarrow t=0$.
Khi đó $I=\int_0^4 f(4-t) \mathrm{d} t=\int_0^4 f(4-x) \mathrm{d} x$.
Suy ra $2 I=\int_0^4 f(x) \mathrm{d} x+\int_0^4 f(4-x) \mathrm{d} x=\int_0^4[f(x)+f(4-x)] \mathrm{d} x$
$=\int_0^4\left(-x^2+4 x\right) \mathrm{d} x=\left.\left(-\dfrac{x^3}{3}+2 x^2\right)\right|_0 ^4=\dfrac{32}{3} \Rightarrow I=\dfrac{16}{3}$.
Vậy $I=\dfrac{16}{3}$.
Đáp án B.