Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathrm{R}$ và thỏa mãn $f^3(x)+f(x)=x$ với mọi $x \in R$. Tính $I=$ $\int_0^2 f(x) d x$
A. $I=-\dfrac{4}{5}$.
B. $I=\dfrac{4}{5}$.
C. $I=-\dfrac{5}{4}$.
D. $I=\dfrac{5}{4}$.
A. $I=-\dfrac{4}{5}$.
B. $I=\dfrac{4}{5}$.
C. $I=-\dfrac{5}{4}$.
D. $I=\dfrac{5}{4}$.
Theo giả thiết $f^3(x)+f(x)=x$ với mọi $x \in R$.
Cho $x=0 \Rightarrow f(0)=0$.
Cho $x=2 \Rightarrow f(2)=1$.
$f^3(x)+f(x)=x \Leftrightarrow\left[f^3(x)+f(x)\right] \cdot f^{\prime}(x)=x \cdot f^{\prime}(x)$
Lấy tích phân hai vế từ 0 đến 2
$
\begin{aligned}
& \int_0^2\left[f^3(x)+f(x)\right] \cdot f^{\prime}(x) d x=\int_0^2 x \cdot f^{\prime}(x) d x \Leftrightarrow \int_0^2\left[f^3(x)+f(x)\right] d f(x)=\int_0^2 x \cdot f^{\prime}(x) d x \\
& \Leftrightarrow\left[\dfrac{1}{4} f^4(x)+\dfrac{1}{2} f^2(x)\right]_0^2=\left.x f(x)\right|_0 ^2-\int_0^2 f(x) d x \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}=2-I \Rightarrow I=\dfrac{5}{4} .
\end{aligned}
$
Cho $x=0 \Rightarrow f(0)=0$.
Cho $x=2 \Rightarrow f(2)=1$.
$f^3(x)+f(x)=x \Leftrightarrow\left[f^3(x)+f(x)\right] \cdot f^{\prime}(x)=x \cdot f^{\prime}(x)$
Lấy tích phân hai vế từ 0 đến 2
$
\begin{aligned}
& \int_0^2\left[f^3(x)+f(x)\right] \cdot f^{\prime}(x) d x=\int_0^2 x \cdot f^{\prime}(x) d x \Leftrightarrow \int_0^2\left[f^3(x)+f(x)\right] d f(x)=\int_0^2 x \cdot f^{\prime}(x) d x \\
& \Leftrightarrow\left[\dfrac{1}{4} f^4(x)+\dfrac{1}{2} f^2(x)\right]_0^2=\left.x f(x)\right|_0 ^2-\int_0^2 f(x) d x \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}=2-I \Rightarrow I=\dfrac{5}{4} .
\end{aligned}
$
Đáp án D.