Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] và thoả mãn $f(2)=16, \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=4$. Tính tích phân $I=\int_0^1 x \cdot f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x$.
A. $I=12$.
B. $I=7$.
C. $I=13$.
D. $I=20$.
A. $I=12$.
B. $I=7$.
C. $I=13$.
D. $I=20$.
Đặt $t=2 x \Rightarrow d t=2 d x$. Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=0$ và $x=1 \Rightarrow t=2$.
Vậy $I=\dfrac{1}{4} \int_0^2 t f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=t \\ d v=f^{\prime}(t) \mathrm{d} t\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\mathrm{d} t \\ v=f(t)\end{array}\right.\right.$, khi đó $4 I=\left.[t f(t)]\right|_0 ^2-\int_0^2 f(t) \mathrm{d} t$ $=2 f(2)-\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=32-4=28 \Rightarrow I=7$.
Vậy $I=\dfrac{1}{4} \int_0^2 t f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=t \\ d v=f^{\prime}(t) \mathrm{d} t\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\mathrm{d} t \\ v=f(t)\end{array}\right.\right.$, khi đó $4 I=\left.[t f(t)]\right|_0 ^2-\int_0^2 f(t) \mathrm{d} t$ $=2 f(2)-\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=32-4=28 \Rightarrow I=7$.
Đáp án B.