Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+2 x-1 \text { khi } x...

- Với $x<2$, ta có $f(x)=x^2+2 x-1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty ; 2)$.
- Với $x>2$, ta có $f(x)=x+5$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(2 ;+\infty)$.
Ta có $\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\left(x^2+2 x-1\right)=7$
$
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}}(x+2)=7 ; f(2)=7
$
Do đó $\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=f(2)$ nên hàm số liên tục tại $x=2$.
Khi đó hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$.
Đặt $t=\ln \left(x^2+1\right) \stackrel{\ln }{\rightarrow} \mathrm{d} t=\dfrac{2 x \mathrm{~d} x}{x^2+1} \Rightarrow \dfrac{x \mathrm{~d} x}{x^2+1}=\dfrac{\mathrm{d} t}{2}$.
Đổi cận:
$
\begin{aligned}
& \text { Với } x=0 \text { ta có } t=0 \\
& \text { Với } x=\sqrt{e^4-1} \text { ta có } t=4 \\
& \text { Khi đó } I=\dfrac{1}{2} \int_0^4 f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{1}{2} \int_0^4 f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2}\left(\int_0^2\left(x^2+2 x-1\right) d x+\int_2^4(x+5) d x\right) \\
& =\dfrac{1}{2}\left[\left.\left(\dfrac{x^3}{3}+x^2-x\right)\right|_0 ^2+\left.\left(\dfrac{x^2}{2}+5 x\right)\right|_2 ^4\right]=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{14}{3}+16\right)=\dfrac{31}{3} .
\end{aligned}
$