Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^x+m \text { khi } x \geq 0 \\ 2 x \sqrt{3+x^2} \text { khi } x<0\end{array}\right.$ liên tục trên $\mathbb{R}, m$ là tham số thực và tích phân $\int_{\dfrac{1}{e}}^e \dfrac{f(\ln x)}{x} d x=a \cdot e+b \sqrt{3}+c$ với $a, b, c \in \mathbb{Q}$. Tổng $a+b-3 c$ bằng
A. 20 .
B. 25 .
C. -19 .
D. 30 .
A. 20 .
B. 25 .
C. -19 .
D. 30 .
Do hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty ; 0) ;(0 ;+\infty)$ nên hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm $x=0$ hay $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(0) \Leftrightarrow 1+m=0 \Leftrightarrow m=-1$ Ta có $\int_{\dfrac{1}{e}}^e \dfrac{f(\ln x)}{x} d x=\int_{\dfrac{1}{e}}^e f(\ln x) d(\ln x)=\int_{-1}^1 f(t) d t$, với $t=\ln x$.
Lại có: $\int_{-1}^1 f(t) d t=\int_{-1}^1 f(x) d x=\int_{-1}^0 f(x) d x+\int_0^1 f(x) d x=\int_{-1}^0 2 x \sqrt{3+x^2} d x+$ $\int_0^1\left(e^x-1\right) d x$
Xét $\int_{-1}^0 2 x \sqrt{3+x^2} d x$ : Đặt $u=\sqrt{3+x^2} \Rightarrow u^2=3+x^2 \Rightarrow u d u=x d x$
$
\int_{-1}^0 2 x \sqrt{3+x^2} d x=\int_2^{\sqrt{3}} 2 u^2 d u=\left.\dfrac{2}{3} u^3\right|_2 ^{\sqrt{3}}=2 \sqrt{3}-\dfrac{16}{3}
$
Xét $\int_0^1\left(e^x-1\right) d x=\left.\left(e^x-x\right)\right|_0 ^1=e-2$
Do đó $\int_{\dfrac{1}{e}}^e \dfrac{f(\ln x)}{x} d x=e+2 \sqrt{3}-\dfrac{22}{3}$, suy ra $a=1 ; b=2 ; c=-\dfrac{22}{3} \Rightarrow a+b-3 c=25$.
Lại có: $\int_{-1}^1 f(t) d t=\int_{-1}^1 f(x) d x=\int_{-1}^0 f(x) d x+\int_0^1 f(x) d x=\int_{-1}^0 2 x \sqrt{3+x^2} d x+$ $\int_0^1\left(e^x-1\right) d x$
Xét $\int_{-1}^0 2 x \sqrt{3+x^2} d x$ : Đặt $u=\sqrt{3+x^2} \Rightarrow u^2=3+x^2 \Rightarrow u d u=x d x$
$
\int_{-1}^0 2 x \sqrt{3+x^2} d x=\int_2^{\sqrt{3}} 2 u^2 d u=\left.\dfrac{2}{3} u^3\right|_2 ^{\sqrt{3}}=2 \sqrt{3}-\dfrac{16}{3}
$
Xét $\int_0^1\left(e^x-1\right) d x=\left.\left(e^x-x\right)\right|_0 ^1=e-2$
Do đó $\int_{\dfrac{1}{e}}^e \dfrac{f(\ln x)}{x} d x=e+2 \sqrt{3}-\dfrac{22}{3}$, suy ra $a=1 ; b=2 ; c=-\dfrac{22}{3} \Rightarrow a+b-3 c=25$.
Đáp án B.