Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2-4 x-1 & , x \geq 5 \\ 2 x-6 & , x<5\end{array}\right.$. Tích phân $\int_0^{\ln 2} f\left(3 e^x+1\right) \cdot e^x \mathrm{~d} x$ bằng
A. $\dfrac{77}{3}$.
B. $\dfrac{77}{9}$.
C. $\dfrac{68}{3}$.
D. $\dfrac{77}{6}$.
A. $\dfrac{77}{3}$.
B. $\dfrac{77}{9}$.
C. $\dfrac{68}{3}$.
D. $\dfrac{77}{6}$.
Ta có $\lim _{x \rightarrow 5^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 5^{+}} f(x)=f(5)=4$ nên hàm số liên tục tại $x=5$.
Vậy hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Đặt $t=3 e^x+1 \Rightarrow e^x \mathrm{~d} x=\dfrac{1}{3} \mathrm{~d} t$
Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=4 ; x=\ln 2 \Rightarrow t=7$
Khi đó $I=\dfrac{1}{3} \int_4^7 f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{1}{3} \int_4^7 f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{3}\left(\int_4^5(2 x-6) \mathrm{d} x+\int_5^7\left(x^2-4 x-1\right) \mathrm{d} x\right)=\dfrac{77}{9}$.
Vậy hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Đặt $t=3 e^x+1 \Rightarrow e^x \mathrm{~d} x=\dfrac{1}{3} \mathrm{~d} t$
Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=4 ; x=\ln 2 \Rightarrow t=7$
Khi đó $I=\dfrac{1}{3} \int_4^7 f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{1}{3} \int_4^7 f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{3}\left(\int_4^5(2 x-6) \mathrm{d} x+\int_5^7\left(x^2-4 x-1\right) \mathrm{d} x\right)=\dfrac{77}{9}$.
Đáp án B.