Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{x-1}+1 & \text { khi } x \geq 1 \\ x \sqrt{3+x^2} & \text { khi } x<1\end{array}\right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d} x=a \cdot e+b \sqrt{7}+c$ với $a ; b ; c$ là các số hữu tỉ. Tổng $a+3 b+3 c$ bằng
A. $\dfrac{4}{3}$.
B. 16 .
C. 6 .
D. 2 .
A. $\dfrac{4}{3}$.
B. 16 .
C. 6 .
D. 2 .
Ta có $I=\int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d} x=\int_{-2}^1 f(x) \mathrm{d} x+\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x=\int_{-2}^1 x \sqrt{3+x^2} \mathrm{~d} x+\int_1^2\left(\mathrm{e}^{x-1}+1\right) \mathrm{d} x$ + Xét $I_1=\int_{-2}^1 x \sqrt{3+x^2} \mathrm{~d} x$
Đặt $t=\sqrt{3+x^2}>0 \Rightarrow x^2=t^2-3 \Rightarrow x d x=t d t$.
Đổi cận: $x=-2 \Rightarrow t=\sqrt{7} ; \quad x=1 \Rightarrow t=2 \Rightarrow I_1=\int_{\sqrt{7}}^2 t^2 \mathrm{~d} t=\left.\dfrac{t^3}{3}\right|_{\sqrt{7}} ^2=\dfrac{8-7 \sqrt{7}}{3}$.
+ Xét $I_2=\int_1^2\left(e^{x-1}+1\right) \mathrm{d} x=\left.\left(e^{x-1}+x\right)\right|_1 ^2=e$.
Vậy $I=I_1+I_2=e-\dfrac{7 \sqrt{7}}{3}+\dfrac{8}{3}=a . e+b \sqrt{7}+c$
Suy ra $a=1 ; b=-\dfrac{7}{3} ; c=\dfrac{8}{3} \Rightarrow P=a+3 b+3 c=2$.
Đặt $t=\sqrt{3+x^2}>0 \Rightarrow x^2=t^2-3 \Rightarrow x d x=t d t$.
Đổi cận: $x=-2 \Rightarrow t=\sqrt{7} ; \quad x=1 \Rightarrow t=2 \Rightarrow I_1=\int_{\sqrt{7}}^2 t^2 \mathrm{~d} t=\left.\dfrac{t^3}{3}\right|_{\sqrt{7}} ^2=\dfrac{8-7 \sqrt{7}}{3}$.
+ Xét $I_2=\int_1^2\left(e^{x-1}+1\right) \mathrm{d} x=\left.\left(e^{x-1}+x\right)\right|_1 ^2=e$.
Vậy $I=I_1+I_2=e-\dfrac{7 \sqrt{7}}{3}+\dfrac{8}{3}=a . e+b \sqrt{7}+c$
Suy ra $a=1 ; b=-\dfrac{7}{3} ; c=\dfrac{8}{3} \Rightarrow P=a+3 b+3 c=2$.
Đáp án D.