Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}\left( 2m+3 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+3m \right)x+\dfrac{2}{3} \right|$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[ -9;9 \right]$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ ?
A. 3.
B. 2.
C. 16.
D. 9.
A. 3.
B. 2.
C. 16.
D. 9.
Xét hàm số $g\left( x \right)=-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}\left( 2m+3 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+3m \right)x+\dfrac{2019}{2020}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=-{{x}^{2}}+\left( 2m+3 \right)x-\left( {{m}^{2}}+3m \right)$
Để $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: $g\left( x \right)$ nghịch biến và không âm trên khoảng $\left( 1;2 \right)$.
Tức là:
$\left\{\begin{array}{l}g^{\prime}(x) \leq 0, \forall x \in(1 ; 2) \\ g(2) \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-x^2+(2 m+3) x-\left(m^2+3 m\right) \leq 0, \forall x \in(1 ; 2) \\ -\dfrac{1}{3} \cdot 2^3+\dfrac{1}{2} \cdot(2 m+3) \cdot 2^2-\left(m^2+3 m\right) \cdot 2+\dfrac{2}{3} \geq 0\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}x \geq m+3, \forall x \in(1 ; 2) \\ x \leq m, \forall x \in(1 ; 2)\end{array}\right.} \\ -2 m^2-2 m+4 \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}m \leq-2 \\ m \geq 2\end{array}\right.} \\ -2 \leq m \leq 1\end{array} \Leftrightarrow m=-2\right.\right.$
Trường hợp 2: $g\left( x \right)$ đồng biến và không dương trên khoảng $\left( 1;2 \right)$.
Tức là:
$\left\{\begin{array}{l}g^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in(1 ; 2) \\ g(2) \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-x^2+(2 m+3) x-\left(m^2+3 m\right) \geq 0, \forall x \in(1 ; 2) \\ -\dfrac{1}{3} \cdot 2^3+\dfrac{1}{2} \cdot(2 m+3) \cdot 2^2-\left(m^2+3 m\right) \cdot 2+\dfrac{2}{3} \leq 0\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m \leq x \leq m+3, \forall x \in(1 ; 2) \\ -2 m^2-2 m+4 \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1 \leq m \leq 1 \\ {\left[\begin{array}{l}m \geq 1 \\ m \leq-2\end{array}\right.}\end{array} \Leftrightarrow m=1\right.\right.$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=-{{x}^{2}}+\left( 2m+3 \right)x-\left( {{m}^{2}}+3m \right)$
Để $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: $g\left( x \right)$ nghịch biến và không âm trên khoảng $\left( 1;2 \right)$.
Tức là:
$\left\{\begin{array}{l}g^{\prime}(x) \leq 0, \forall x \in(1 ; 2) \\ g(2) \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-x^2+(2 m+3) x-\left(m^2+3 m\right) \leq 0, \forall x \in(1 ; 2) \\ -\dfrac{1}{3} \cdot 2^3+\dfrac{1}{2} \cdot(2 m+3) \cdot 2^2-\left(m^2+3 m\right) \cdot 2+\dfrac{2}{3} \geq 0\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}x \geq m+3, \forall x \in(1 ; 2) \\ x \leq m, \forall x \in(1 ; 2)\end{array}\right.} \\ -2 m^2-2 m+4 \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}m \leq-2 \\ m \geq 2\end{array}\right.} \\ -2 \leq m \leq 1\end{array} \Leftrightarrow m=-2\right.\right.$
Trường hợp 2: $g\left( x \right)$ đồng biến và không dương trên khoảng $\left( 1;2 \right)$.
Tức là:
$\left\{\begin{array}{l}g^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in(1 ; 2) \\ g(2) \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-x^2+(2 m+3) x-\left(m^2+3 m\right) \geq 0, \forall x \in(1 ; 2) \\ -\dfrac{1}{3} \cdot 2^3+\dfrac{1}{2} \cdot(2 m+3) \cdot 2^2-\left(m^2+3 m\right) \cdot 2+\dfrac{2}{3} \leq 0\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m \leq x \leq m+3, \forall x \in(1 ; 2) \\ -2 m^2-2 m+4 \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1 \leq m \leq 1 \\ {\left[\begin{array}{l}m \geq 1 \\ m \leq-2\end{array}\right.}\end{array} \Leftrightarrow m=1\right.\right.$
Đáp án B.