Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left( 1-{{m}^{3}} \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+\left( 4-m \right)x+2$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[ -100;100 \right]$ sao cho $f\left( x \right)\ge 0$ với mọi giá trị $x\in \left[ 3;5 \right]$.
A. $101$ .
B. $99$ .
C. $100$ .
D. $102$ .
A. $101$ .
B. $99$ .
C. $100$ .
D. $102$ .
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
${f}'\left( x \right)=3\left( 1-{{m}^{3}} \right){{x}^{2}}+6x+4-m=3{{x}^{2}}+6x+4-m\left( 3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1 \right)$.
Ta thấy: $3{{x}^{2}}+6x+4>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Điều kiện cần:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 3 \right)\ge 0 \\
& f\left( 5 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 27\left( 1-{{m}^{3}} \right)+27+3\left( 4-m \right)+2\ge 0 \\
& 125\left( 1-{{m}^{3}} \right)+75+5\left( 4-m \right)+2\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -27{{m}^{3}}-3m+68\ge 0 \\
& -125{{m}^{3}}-5m+222\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m\in \left[ -100,100 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -100,-99,-98,...,0,1 \right\}$.
Điều kiện đủ:
Nếu $m=1$ thì $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+3x+2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó, $m=1$ (Nhận).
Nếu $m\le 0$ thì $-m\left( 3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1 \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó, $m\le 0$ (Nhận).
Vậy có $102$ giá trị nguyên $m$ thoả mãn yêu cầu bài.
${f}'\left( x \right)=3\left( 1-{{m}^{3}} \right){{x}^{2}}+6x+4-m=3{{x}^{2}}+6x+4-m\left( 3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1 \right)$.
Ta thấy: $3{{x}^{2}}+6x+4>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Điều kiện cần:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 3 \right)\ge 0 \\
& f\left( 5 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 27\left( 1-{{m}^{3}} \right)+27+3\left( 4-m \right)+2\ge 0 \\
& 125\left( 1-{{m}^{3}} \right)+75+5\left( 4-m \right)+2\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -27{{m}^{3}}-3m+68\ge 0 \\
& -125{{m}^{3}}-5m+222\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m\in \left[ -100,100 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -100,-99,-98,...,0,1 \right\}$.
Điều kiện đủ:
Nếu $m=1$ thì $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+3x+2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó, $m=1$ (Nhận).
Nếu $m\le 0$ thì $-m\left( 3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1 \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó, $m\le 0$ (Nhận).
Vậy có $102$ giá trị nguyên $m$ thoả mãn yêu cầu bài.
Đáp án D.