Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2\sqrt{x+1}+m}{\sqrt{x+1}+1}$...

Điều kiện xác định của hàm số là $x\ge -1$. Đặt $t=\sqrt{x+1}$, với $x\in \left[ -1; 8 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;3 \right]$.
Khi đó hàm số $f\left( x \right)$ trở thành $g\left( t \right)=\dfrac{2t+m}{t+1}$. Ta có ${g}'\left( t \right)=\dfrac{2-m}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$
Trường hợp 1: Nếu $m=2\Rightarrow g\left( t \right)=2\Rightarrow $ $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=2<3$ ( tm)
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{aligned}
& 2-m<0 \\
& \underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=g\left( 0 \right)<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m<3$
Trường hợp 3: $\left\{ \begin{aligned}
& 2-m>0 \\
& \underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=g\left( 3 \right)<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<2 \\
& \dfrac{m+6}{4}<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<2$
Kết hợp các trường hợp trên suy ra $m<3$ mà $m$ nguyên dương $\Rightarrow m\in \left\{ 1;2 \right\}$.
Vậy tập $S$ có $2$ phần tử.