Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2\sqrt{x+1}+m}{\sqrt{x+1}+4}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ -1;8 \right]$ nhỏ hơn 3. Số phần tử của tập $S$ là
A. $9$.
B. $11$.
C. $12$.
D. $10$.
A. $9$.
B. $11$.
C. $12$.
D. $10$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\dfrac{8-m}{{{\left( \sqrt{x+1}+4 \right)}^{2}}}$.
Trường hợp 1: Nếu $m<8\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0\Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $\left( -1;8 \right)$.
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;8 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 8 \right)=\dfrac{6+m}{7}<3\Leftrightarrow m<15$.
Mà $m<8; m\in \mathbb{N}*\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7 \right\}$.
Trường hợp 2: Nếu $m>8\Rightarrow {f}'\left( x \right)<0\Rightarrow $ hàm số nghịch biến trên $\left( -1;8 \right)$
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;8 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)=\dfrac{m}{4}<3\Leftrightarrow m<12$.
Mà $m>8; m\in \mathbb{N}*\Rightarrow m\in \left\{ 9;10;11 \right\}$.
Trường hợp 3: Nếu $m=8\Rightarrow f\left( x \right)=2$ $\Rightarrow \underset{\left[ -1;8 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=2<3$ (thỏa mãn) $\Rightarrow m=8$ thỏa mãn.
Vậy có 11 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 \right\}$.
Trường hợp 1: Nếu $m<8\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0\Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $\left( -1;8 \right)$.
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;8 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 8 \right)=\dfrac{6+m}{7}<3\Leftrightarrow m<15$.
Mà $m<8; m\in \mathbb{N}*\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7 \right\}$.
Trường hợp 2: Nếu $m>8\Rightarrow {f}'\left( x \right)<0\Rightarrow $ hàm số nghịch biến trên $\left( -1;8 \right)$
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;8 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)=\dfrac{m}{4}<3\Leftrightarrow m<12$.
Mà $m>8; m\in \mathbb{N}*\Rightarrow m\in \left\{ 9;10;11 \right\}$.
Trường hợp 3: Nếu $m=8\Rightarrow f\left( x \right)=2$ $\Rightarrow \underset{\left[ -1;8 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=2<3$ (thỏa mãn) $\Rightarrow m=8$ thỏa mãn.
Vậy có 11 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 \right\}$.
Đáp án B.