Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x-{{m}^{2}}+m}{x+1}$. Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( x \right) \right|$ trên đoạn $\left[ 1; 2 \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng các phần tử của tập $S$.
A. $0$.
B. $1$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $-\dfrac{1}{2}$.
A. $0$.
B. $1$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $-\dfrac{1}{2}$.
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{x-{{m}^{2}}+m}{x+1}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$, $\left[ 1; 2 \right]\subset D$. Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 1; 2 \right]$.
${f}'\left( x \right)=\dfrac{{{m}^{2}}-m+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0, \forall x\in \mathbb{R}$.
$\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=\dfrac{-{{m}^{2}}+m+2}{3}$, $\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{-{{m}^{2}}+m+1}{2}$.
Do đó $\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|=\text{max}\left\{ \left| \dfrac{-{{m}^{2}}+m+1}{2} \right|; \left| \dfrac{-{{m}^{2}}+m+2}{3} \right| \right\}$.
Ta có $2.\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|\ge 2\left| f\left( 1 \right) \right|=\left| -{{m}^{2}}+m+1 \right|=\left| {{m}^{2}}-m-1 \right|$.
$3.\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|\ge 3\left| f\left( 2 \right) \right|=\left| -{{m}^{2}}+m+2 \right|$.
$\Rightarrow 5.\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|\ge \left| {{m}^{2}}-m-1 \right|+\left| -{{m}^{2}}+m+2 \right|\ge \left| 1 \right|\Leftrightarrow \underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|\ge \dfrac{1}{5}$
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{-{{m}^{2}}+m+1}{2}=-\dfrac{-{{m}^{2}}+m+2}{3}\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-5m-7=0$.
Áp dụng định lý Vi-et suy ra tổng các giá trị phần tử tập $S$ bằng 1.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$, $\left[ 1; 2 \right]\subset D$. Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 1; 2 \right]$.
${f}'\left( x \right)=\dfrac{{{m}^{2}}-m+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0, \forall x\in \mathbb{R}$.
$\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=\dfrac{-{{m}^{2}}+m+2}{3}$, $\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{-{{m}^{2}}+m+1}{2}$.
Do đó $\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|=\text{max}\left\{ \left| \dfrac{-{{m}^{2}}+m+1}{2} \right|; \left| \dfrac{-{{m}^{2}}+m+2}{3} \right| \right\}$.
Ta có $2.\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|\ge 2\left| f\left( 1 \right) \right|=\left| -{{m}^{2}}+m+1 \right|=\left| {{m}^{2}}-m-1 \right|$.
$3.\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|\ge 3\left| f\left( 2 \right) \right|=\left| -{{m}^{2}}+m+2 \right|$.
$\Rightarrow 5.\underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|\ge \left| {{m}^{2}}-m-1 \right|+\left| -{{m}^{2}}+m+2 \right|\ge \left| 1 \right|\Leftrightarrow \underset{\left[ 1; 2 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|\ge \dfrac{1}{5}$
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{-{{m}^{2}}+m+1}{2}=-\dfrac{-{{m}^{2}}+m+2}{3}\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-5m-7=0$.
Áp dụng định lý Vi-et suy ra tổng các giá trị phần tử tập $S$ bằng 1.
Đáp án B.
