Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left( -1; +\infty \right)$ và thỏa mãn $2f\left( x \right)+\left( {{x}^{2}}-1 \right){f}'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}, \forall x\in \left( -1; +\infty \right)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0; x=1$ có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 0; 1 \right).$
B. $\left( 1; 2 \right).$
C. $\left( 2; 3 \right).$
D. $\left( 3; 4 \right).$
A. $\left( 0; 1 \right).$
B. $\left( 1; 2 \right).$
C. $\left( 2; 3 \right).$
D. $\left( 3; 4 \right).$
$2f\left( x \right)+\left( {{x}^{2}}-1 \right){f}'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}f\left( x \right)+\dfrac{x-1}{x+1}{f}'\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x-1}{x+1}f\left( x \right) \right)}^{\prime }}={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3} \right)}^{\prime }}$ $\Rightarrow \dfrac{x-1}{x+1}f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+C.$
Mặt khác thay $x=1$ vào $2f\left( x \right)+\left( {{x}^{2}}-1 \right){f}'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}$ ta được $f\left( 1 \right)=1$ nên $C=-2$.
Vậy $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+2}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0; x=1$ là $S=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+2}dx}$ có giá trị thuộc $\left( 0; 1 \right).$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x-1}{x+1}f\left( x \right) \right)}^{\prime }}={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3} \right)}^{\prime }}$ $\Rightarrow \dfrac{x-1}{x+1}f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+C.$
Mặt khác thay $x=1$ vào $2f\left( x \right)+\left( {{x}^{2}}-1 \right){f}'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}$ ta được $f\left( 1 \right)=1$ nên $C=-2$.
Vậy $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+2}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0; x=1$ là $S=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+2}dx}$ có giá trị thuộc $\left( 0; 1 \right).$
Đáp án A.