Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ có $f\left( 0 \right)=0$ và ${f}'\left( 0 \right)\ne 0$ thỏa mãn biểu thức $3f\left( x \right)-{f}'\left( x \right)\left( 2f\left( x \right)-2{{x}^{2}}-3x \right)=18{{x}^{2}}-4xf\left( x \right)$. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)={{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{2}{5}$.
D. $\dfrac{3}{8}$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{2}{5}$.
D. $\dfrac{3}{8}$.
Ta có: $3f\left( x \right)-{f}'\left( x \right)\left( 2f\left( x \right)-2{{x}^{2}}-3x \right)=18{{x}^{2}}-4xf\left( x \right)$
$\Leftrightarrow 4xf\left( x \right)+3f\left( x \right)={f}'\left( x \right)\left( 2f\left( x \right)-2{{x}^{2}}-3x \right)+18{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( 4x+3 \right)f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)\left( 2{{x}^{2}}+3x \right)=2f\left( x \right).{f}'\left( x \right)+18{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right)\left( 2{{x}^{2}}+3x \right) \right]}^{\prime }}={{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right) \right]}^{\prime }}+18{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow \int{{{\left[ f\left( x \right)\left( 2{{x}^{2}}+3x \right) \right]}^{\prime }}dx=\int{{{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right) \right]}^{\prime }}dx}+\int{18{{x}^{2}}dx}}$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)\left( 2{{x}^{2}}+3x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+6{{x}^{3}}+C\xrightarrow{f\left( 0 \right)=0}C=0$
$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-2{{x}^{2}}f\left( x \right)+6{{x}^{3}}-3xf\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)\left( f\left( x \right)-2{{x}^{2}} \right)-3x\left( f\left( x \right)-2{{x}^{2}} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( f\left( x \right)-2{{x}^{2}} \right)\left( f\left( x \right)-3x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=2{{x}^{2}} \\
& f\left( x \right)=3x \\
\end{aligned} \right. $. Do $ {f}'\left( 0 \right)\ne 0\Rightarrow f\left( x \right)=3x$
Ta có: $f\left( x \right)=3x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3\Rightarrow g\left( x \right)={{x}^{2}}{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}.3=3{{x}^{2}}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: $3x=3{{x}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là: $S=\left| \int\limits_{0}^{1}{\left( 3x-3{{x}^{2}} \right)dx} \right|=\dfrac{1}{2}$.
$\Leftrightarrow 4xf\left( x \right)+3f\left( x \right)={f}'\left( x \right)\left( 2f\left( x \right)-2{{x}^{2}}-3x \right)+18{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( 4x+3 \right)f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)\left( 2{{x}^{2}}+3x \right)=2f\left( x \right).{f}'\left( x \right)+18{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right)\left( 2{{x}^{2}}+3x \right) \right]}^{\prime }}={{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right) \right]}^{\prime }}+18{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow \int{{{\left[ f\left( x \right)\left( 2{{x}^{2}}+3x \right) \right]}^{\prime }}dx=\int{{{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right) \right]}^{\prime }}dx}+\int{18{{x}^{2}}dx}}$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)\left( 2{{x}^{2}}+3x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+6{{x}^{3}}+C\xrightarrow{f\left( 0 \right)=0}C=0$
$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-2{{x}^{2}}f\left( x \right)+6{{x}^{3}}-3xf\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)\left( f\left( x \right)-2{{x}^{2}} \right)-3x\left( f\left( x \right)-2{{x}^{2}} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( f\left( x \right)-2{{x}^{2}} \right)\left( f\left( x \right)-3x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=2{{x}^{2}} \\
& f\left( x \right)=3x \\
\end{aligned} \right. $. Do $ {f}'\left( 0 \right)\ne 0\Rightarrow f\left( x \right)=3x$
Ta có: $f\left( x \right)=3x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3\Rightarrow g\left( x \right)={{x}^{2}}{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}.3=3{{x}^{2}}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: $3x=3{{x}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là: $S=\left| \int\limits_{0}^{1}{\left( 3x-3{{x}^{2}} \right)dx} \right|=\dfrac{1}{2}$.
Đáp án A.
