Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+cx+~d,a\ne 0$, có đồ thị tiếp xúc và cắt đường thẳng $y=2$ tại các
điểm có hoạnh độ $x=1,x=0,x=-2$ (hình vẽ dưới). Biết diện tích phần gạch chéo bằng $\dfrac{1}{5}$, gọi
$g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số $f\left( x \right)$. Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ gần với số nào nhất?
A. 6.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
điểm có hoạnh độ $x=1,x=0,x=-2$ (hình vẽ dưới). Biết diện tích phần gạch chéo bằng $\dfrac{1}{5}$, gọi
$g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số $f\left( x \right)$. Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ gần với số nào nhất?
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Do đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ tiếp xúc và cắt đường thẳng $y=2$ tại các điểm có hoành độ $x=1$, $x=0$, $x=-2$ nên $f\left( x \right)-2=ax\left( x+2 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}$
$S=\int\limits_{0}^{1}{\left| f\left( x \right)-2 \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left| ax\left( x+2 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}} \right|\text{d}x}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow a=1\Rightarrow f\left( x \right)=x\left( x+2 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}+2$
Ta có $f\left( x \right)=x\left( x+2 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}+2={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2x+2$
${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-6x+2$
Thực hiện phép chia $f\left( x \right)$ cho ${f}'\left( x \right)$ ta có được $g\left( x \right)=\dfrac{-3}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+2$
Phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}}{2} \\
x=1 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $S=\int\limits_{\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}}^{1}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}}^{1}{\left| {{x}^{4}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x \right|\text{d}x}\approx 0.84$.
$S=\int\limits_{0}^{1}{\left| f\left( x \right)-2 \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left| ax\left( x+2 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}} \right|\text{d}x}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow a=1\Rightarrow f\left( x \right)=x\left( x+2 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}+2$
Ta có $f\left( x \right)=x\left( x+2 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}+2={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2x+2$
${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-6x+2$
Thực hiện phép chia $f\left( x \right)$ cho ${f}'\left( x \right)$ ta có được $g\left( x \right)=\dfrac{-3}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+2$
Phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}}{2} \\
x=1 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $S=\int\limits_{\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}}^{1}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}}^{1}{\left| {{x}^{4}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x \right|\text{d}x}\approx 0.84$.
Đáp án B.