Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Hàm số $g\left( x \right)=4f\left( {{x}^{2}}-4 \right)+{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. $4$.
B. $3$.
C. $7$.
D. $5$.
B. $3$.
C. $7$.
D. $5$.
Ta có $g\left( x \right)=4f\left( {{x}^{2}}-4 \right)+{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=8x{f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)+4{{x}^{3}}-16x$
Ta có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)+\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-4 \right)=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-4 \right) \\
\end{matrix} \right.$.
Xét phương trình ${f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-4 \right)$.
Đặt $t={{x}^{2}}-4$, khi đó ${f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-4 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{2}t$.
Phát họa đồ thị hàm số $y={f}'\left( t \right)$ và $y=\dfrac{1}{2}t$ trên cùng một hệ trục tọa độ:
Khi đó ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{2}t\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=-1 \\
t=0 \\
t=4 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $\left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-4 \right) \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{{x}^{2}}-4=-1 \\
{{x}^{2}}-4=0 \\
{{x}^{2}}-4=4 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=\pm \sqrt{3} \\
x=2 \\
x=\pm 2\sqrt{2} \\
\end{matrix} \right.$.
Vậy $g\left( x \right)=4f\left( {{x}^{2}}-4 \right)+{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}$ có $7$ điểm cục trị, mà $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $ nên hàm số $g\left( x \right)$ có $4$ điểm cực tiểu.
Ta có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)+\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-4 \right)=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-4 \right) \\
\end{matrix} \right.$.
Xét phương trình ${f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-4 \right)$.
Đặt $t={{x}^{2}}-4$, khi đó ${f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-4 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{2}t$.
Phát họa đồ thị hàm số $y={f}'\left( t \right)$ và $y=\dfrac{1}{2}t$ trên cùng một hệ trục tọa độ:
t=-1 \\
t=0 \\
t=4 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $\left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-4 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-4 \right) \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{{x}^{2}}-4=-1 \\
{{x}^{2}}-4=0 \\
{{x}^{2}}-4=4 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=\pm \sqrt{3} \\
x=2 \\
x=\pm 2\sqrt{2} \\
\end{matrix} \right.$.
Vậy $g\left( x \right)=4f\left( {{x}^{2}}-4 \right)+{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}$ có $7$ điểm cục trị, mà $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $ nên hàm số $g\left( x \right)$ có $4$ điểm cực tiểu.
Đáp án A.