Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$. Biết hàm số $y={f}'\left( 5-2x \right)$ có đồ thị là một Parabol $\left( P \right)$ như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( 2{{x}^{2}}+2x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0; 1 \right)$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
Từ đồ thị ta xác định được $y={f}'\left( 5-2x \right)=3{{x}^{2}}-12x+6.$
Đặt $5-2x=t\Rightarrow x=\dfrac{5-t}{2}$.
Khi đó: $3{{x}^{2}}-12x+6=\dfrac{3}{4}{{\left( 5-t \right)}^{2}}-6\left( 5-t \right)+6=\dfrac{3}{4}{{t}^{2}}-\dfrac{3}{2}t-\dfrac{21}{4}={f}'\left( t \right).$
${f}'\left( t \right)<0\Leftrightarrow 1-2\sqrt{2}<t<1+2\sqrt{2}\Leftrightarrow 1-2\sqrt{2}<5-2x<1+2\sqrt{2}\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2}$.
Hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{2}}+2x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0; 1 \right)$.
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left( 4x+2 \right){f}'\left( 2{{x}^{2}}+2x+m \right)<0,\forall x\in \left( 0; 1 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( 2{{x}^{2}}+2x+m \right)<0,\forall x\in \left( 0; 1 \right) $
$\left( do 4x+2>0,\forall x\in \left( 0; 1 \right) \right)$
$\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<2{{x}^{2}}+2x+m<2+\sqrt{2},\forall x\in \left( 0; 1 \right)\Leftrightarrow -m-\sqrt{2}<2{{x}^{2}}+2x-2<-m+\sqrt{2},\forall x\in \left( 0; 1 \right)$.
Đặt $h\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2x-2\Rightarrow {h}'\left( x \right)=4x+2>0,\forall x\in \left( 0; 1 \right)$.
BBT:
Điều kiện bài toán $\Leftrightarrow -m-\sqrt{2}<0<1<-m+\sqrt{2}\Leftrightarrow -\sqrt{2}<m<\sqrt{2}-1\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ -1; 0 \right\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.
Đặt $5-2x=t\Rightarrow x=\dfrac{5-t}{2}$.
Khi đó: $3{{x}^{2}}-12x+6=\dfrac{3}{4}{{\left( 5-t \right)}^{2}}-6\left( 5-t \right)+6=\dfrac{3}{4}{{t}^{2}}-\dfrac{3}{2}t-\dfrac{21}{4}={f}'\left( t \right).$
${f}'\left( t \right)<0\Leftrightarrow 1-2\sqrt{2}<t<1+2\sqrt{2}\Leftrightarrow 1-2\sqrt{2}<5-2x<1+2\sqrt{2}\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2}$.
Hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{2}}+2x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0; 1 \right)$.
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left( 4x+2 \right){f}'\left( 2{{x}^{2}}+2x+m \right)<0,\forall x\in \left( 0; 1 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( 2{{x}^{2}}+2x+m \right)<0,\forall x\in \left( 0; 1 \right) $
$\left( do 4x+2>0,\forall x\in \left( 0; 1 \right) \right)$
$\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<2{{x}^{2}}+2x+m<2+\sqrt{2},\forall x\in \left( 0; 1 \right)\Leftrightarrow -m-\sqrt{2}<2{{x}^{2}}+2x-2<-m+\sqrt{2},\forall x\in \left( 0; 1 \right)$.
Đặt $h\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2x-2\Rightarrow {h}'\left( x \right)=4x+2>0,\forall x\in \left( 0; 1 \right)$.
BBT:
Điều kiện bài toán $\Leftrightarrow -m-\sqrt{2}<0<1<-m+\sqrt{2}\Leftrightarrow -\sqrt{2}<m<\sqrt{2}-1\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ -1; 0 \right\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.
