Google
Câu hỏi: Cho hai số phức $u, v$ thỏa mãn $\left| u \right|=\left| v \right|=10$ và $\left| 3u-4v \right|=50$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\left| 4u+3v-8+6i \right|$.
A. $30$.
B. $40$.
C. $60$.
D. $50$.
A. $30$.
B. $40$.
C. $60$.
D. $50$.
Ta có ${{\left| z \right|}^{2}}=z.\overline{z}$. Đặt $T=\left| 3u-4v \right|$, $M=\left| 4u+3v \right|$.
Khi đó ${{T}^{2}}=\left( 3u-4v \right)\left( 3\overline{u}-4\overline{v} \right)$ $=9{{\left| u \right|}^{2}}+16{{\left| v \right|}^{2}}-12\left( u\overline{v}+v\overline{u} \right)$.
Tương tự ta có ${{M}^{2}}=\left( 4u+3v \right)\left( 4\overline{u}+3\overline{v} \right)$ $=16{{\left| u \right|}^{2}}+9{{\left| v \right|}^{2}}+12\left( u\overline{v}+v\overline{u} \right)$.
Do đó ${{M}^{2}}+{{T}^{2}}=25\left( {{\left| u \right|}^{2}}+{{\left| v \right|}^{2}} \right)=5000$.
Suy ra ${{M}^{2}}=5000-{{T}^{2}}$ $=5000-{{50}^{2}}=2500$ hay $M=50$.
Áp dụng $\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|$ ta có
$\left| 4u+3v-8+6i \right|\le \left| 4u+3v \right|+\left| -8+6i \right|=50+10=60$.
Suy ra $\max \left| 4u+3v-10i \right|=60$.
Khi đó ${{T}^{2}}=\left( 3u-4v \right)\left( 3\overline{u}-4\overline{v} \right)$ $=9{{\left| u \right|}^{2}}+16{{\left| v \right|}^{2}}-12\left( u\overline{v}+v\overline{u} \right)$.
Tương tự ta có ${{M}^{2}}=\left( 4u+3v \right)\left( 4\overline{u}+3\overline{v} \right)$ $=16{{\left| u \right|}^{2}}+9{{\left| v \right|}^{2}}+12\left( u\overline{v}+v\overline{u} \right)$.
Do đó ${{M}^{2}}+{{T}^{2}}=25\left( {{\left| u \right|}^{2}}+{{\left| v \right|}^{2}} \right)=5000$.
Suy ra ${{M}^{2}}=5000-{{T}^{2}}$ $=5000-{{50}^{2}}=2500$ hay $M=50$.
Áp dụng $\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|$ ta có
$\left| 4u+3v-8+6i \right|\le \left| 4u+3v \right|+\left| -8+6i \right|=50+10=60$.
Suy ra $\max \left| 4u+3v-10i \right|=60$.
Đáp án C.
