Google
Câu hỏi: Cho các số phức $u$, $v$, $w$ thỏa mãn các điều kiện $\left| u+4-2i \right|=2$, $\left| 3v-1+i \right|=\left| 2v+1-i \right|$ và $\left| w \right|=\left| \overline{w}+2+2i \right|$. Tìm $\left| w \right|$ khi $S=\left| u-w \right|+\left| v-w \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $\left| w \right|=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
B. $\left| w \right|=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
C. $\left| w \right|=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$
D. $\left| w \right|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
A. $\left| w \right|=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
B. $\left| w \right|=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
C. $\left| w \right|=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$
D. $\left| w \right|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $u$, $v$, $w$ trên mặt phẳng phức.
Ta có $\left| u+4-2i \right|=2$ nên $M$ thuộc $\left( {{C}_{1}} \right)$ có ${{I}_{1}}\left( -4;2 \right)$, ${{R}_{1}}=2$.
Đặt $v=x+yi$, khi đó $\left| 3v-1+i \right|=\left| 2v+1-i \right|\Leftrightarrow \left| \left( 3x-1 \right)+\left( 3y+1 \right)i \right|=\left| \left( 2x+1 \right)+\left( 2y-1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( 3x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3y+1 \right)}^{2}}={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0$.
Khi đó, $N$ thuộc $\left( {{C}_{2}} \right)$ có ${{I}_{2}}\left( 1;-1 \right)$, ${{R}_{2}}=\sqrt{2}$.
Ta có $\left| w \right|=\left| \overline{w}+2+2i \right|\Leftrightarrow \left| w \right|=\left| w+2-2i \right|$, khi đó $P$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ với $A\left( 0;0 \right)$, $B\left( -2;2 \right)$ $\Rightarrow d:x-y+2=0$.
Do $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ nằm về hai phía của $d$ nên $S=\left| u-w \right|+\left| v-w \right|=MP+NP\ge MN$.
Đẳng thức xảy ra khi $P$ là giao điểm của ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$ và $d$.
Ta có ${{I}_{1}}{{I}_{2}}:\left\{ \begin{matrix}
x=1+5t \\
y=-1-3t \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow P\left( 1+5t;-1-3t \right) $. Thay tọa độ điểm $ P $ vào $ d $ ta có được $ \left( 1+5t \right)-\left( -1-3t \right)+2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-1}{2}\Rightarrow P\left( \dfrac{-3}{2};\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow w=\dfrac{-3}{2}+\dfrac{1}{2}i\Rightarrow \left| w \right|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Ta có $\left| u+4-2i \right|=2$ nên $M$ thuộc $\left( {{C}_{1}} \right)$ có ${{I}_{1}}\left( -4;2 \right)$, ${{R}_{1}}=2$.
Đặt $v=x+yi$, khi đó $\left| 3v-1+i \right|=\left| 2v+1-i \right|\Leftrightarrow \left| \left( 3x-1 \right)+\left( 3y+1 \right)i \right|=\left| \left( 2x+1 \right)+\left( 2y-1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( 3x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3y+1 \right)}^{2}}={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0$.
Khi đó, $N$ thuộc $\left( {{C}_{2}} \right)$ có ${{I}_{2}}\left( 1;-1 \right)$, ${{R}_{2}}=\sqrt{2}$.
Ta có $\left| w \right|=\left| \overline{w}+2+2i \right|\Leftrightarrow \left| w \right|=\left| w+2-2i \right|$, khi đó $P$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ với $A\left( 0;0 \right)$, $B\left( -2;2 \right)$ $\Rightarrow d:x-y+2=0$.
Đẳng thức xảy ra khi $P$ là giao điểm của ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$ và $d$.
Ta có ${{I}_{1}}{{I}_{2}}:\left\{ \begin{matrix}
x=1+5t \\
y=-1-3t \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow P\left( 1+5t;-1-3t \right) $. Thay tọa độ điểm $ P $ vào $ d $ ta có được $ \left( 1+5t \right)-\left( -1-3t \right)+2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-1}{2}\Rightarrow P\left( \dfrac{-3}{2};\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow w=\dfrac{-3}{2}+\dfrac{1}{2}i\Rightarrow \left| w \right|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Đáp án D.