Google
Câu hỏi: Cho đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm một tụ điện, một cuộn dây và một biến trở R. Điện áp xoay chiều giữa hai đầu đoạn mạch ổn định. Cho R thay đổi ta thấy: Khi R = R1 = 76 Ω thì công suất tiêu thụ của biến trở có giá trị lớn nhất là P0, khi R = R2 thì công suất tiêu thụ của mạch AB có giá trị lớn nhất là 2P0. Giá trị của R2 bằng
A. 12,4 Ω.
B. 60,8 Ω.
C. 45,6 Ω.
D. 15,2 Ω.
A. 12,4 Ω.
B. 60,8 Ω.
C. 45,6 Ω.
D. 15,2 Ω.
+ Khi $R={{R}_{1}}=76\Omega $ thì công suất tiêu thụ trên biến trở có giá trị cực đại
$\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=76\Omega (1) \\
& {{P}_{0}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2({{R}_{1}}+r)}(2) \\
\end{aligned} \right.$
+ Khi $R={{R}_{2}}$ thì công suất tiêu thụ trên toàn mạch là cực đại
$\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{2}}+r={{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}(3) \\
& 2{{P}_{0}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2({{R}_{2}}+r)}(4) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (1) và (3), (2) và (4) ta có :
$\left\{ \begin{aligned}
& ({{R}_{1}}+r)=2({{R}_{2}}+r) \\
& R_{1}^{2}-{{r}^{2}}={{({{R}_{2}}+r)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{R}_{1}}+r=2\sqrt{R_{1}^{2}-{{r}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& r=45,6\Omega \\
& {{R}_{2}}=15,2\Omega \\
\end{aligned} \right.$
Ghi chú :
Bài toán điện trở biến thiên để công suất trên biến trở và trên toàn mạch cực đại
+ Công suất trên toàn mạch cực đại :
Công suất của toàn mạch được xác định bởi :
$P={{I}^{2}}{{R}_{td}}=\dfrac{{{U}^{2}}{{R}_{td}}}{R_{td}^{2}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{td}}+\dfrac{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}_{td}}}},{{R}_{td}}=R+r$
Đặt $y={{R}_{td}}+\dfrac{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}_{td}}}$ ta thấy rằng để công suất P cực đại thì y phải nhỏ nhất
Hơn nữa $y\ge 2\sqrt{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}$ dấu bằng xảy ra khi ${{R}_{td}}={{R}_{0td}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|$
Vậy đối với giá trị của R để công suất trên toàn mạch cực đại thì ta thu được các kết quả sau:
${{R}_{0td}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|=\sqrt{{{R}_{1td}}{{R}_{2td}}}$
${{P}_{max}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2{{R}_{0td}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{{{R}_{1td}}{{R}_{2td}}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{({{R}_{1}}+r)({{R}_{2}}+r)}}$
+ Công suất trên biến trở cực đại
Công suất trên biến trở R được xác định bởi
${{P}_{R}}={{I}^{2}}R=\dfrac{{{U}^{2}}R}{R_{td}^{2}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{\dfrac{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{R}}$
Đặt $y=\dfrac{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{R}$ rõ ràng để công suất PR cực đại thì y phải nhỏ nhất
$y'=\dfrac{2(R+r)R-{{(R+r)}^{2}}-{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}^{2}}}=0\Rightarrow {{R}_{R}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}$
Khi đó công suất cực đại của biến trở là :
${{P}_{Rmax}}==\dfrac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}+2r}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2(R+r)}$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=76\Omega (1) \\
& {{P}_{0}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2({{R}_{1}}+r)}(2) \\
\end{aligned} \right.$
+ Khi $R={{R}_{2}}$ thì công suất tiêu thụ trên toàn mạch là cực đại
$\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{2}}+r={{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}(3) \\
& 2{{P}_{0}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2({{R}_{2}}+r)}(4) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (1) và (3), (2) và (4) ta có :
$\left\{ \begin{aligned}
& ({{R}_{1}}+r)=2({{R}_{2}}+r) \\
& R_{1}^{2}-{{r}^{2}}={{({{R}_{2}}+r)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{R}_{1}}+r=2\sqrt{R_{1}^{2}-{{r}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& r=45,6\Omega \\
& {{R}_{2}}=15,2\Omega \\
\end{aligned} \right.$
Ghi chú :
Bài toán điện trở biến thiên để công suất trên biến trở và trên toàn mạch cực đại
+ Công suất trên toàn mạch cực đại :
Công suất của toàn mạch được xác định bởi :
$P={{I}^{2}}{{R}_{td}}=\dfrac{{{U}^{2}}{{R}_{td}}}{R_{td}^{2}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{td}}+\dfrac{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}_{td}}}},{{R}_{td}}=R+r$
Đặt $y={{R}_{td}}+\dfrac{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}_{td}}}$ ta thấy rằng để công suất P cực đại thì y phải nhỏ nhất
Hơn nữa $y\ge 2\sqrt{{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}$ dấu bằng xảy ra khi ${{R}_{td}}={{R}_{0td}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|$
Vậy đối với giá trị của R để công suất trên toàn mạch cực đại thì ta thu được các kết quả sau:
${{R}_{0td}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|=\sqrt{{{R}_{1td}}{{R}_{2td}}}$
${{P}_{max}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2{{R}_{0td}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{{{R}_{1td}}{{R}_{2td}}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{({{R}_{1}}+r)({{R}_{2}}+r)}}$
+ Công suất trên biến trở cực đại
Công suất trên biến trở R được xác định bởi
${{P}_{R}}={{I}^{2}}R=\dfrac{{{U}^{2}}R}{R_{td}^{2}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{\dfrac{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{R}}$
Đặt $y=\dfrac{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{R}$ rõ ràng để công suất PR cực đại thì y phải nhỏ nhất
$y'=\dfrac{2(R+r)R-{{(R+r)}^{2}}-{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}^{2}}}=0\Rightarrow {{R}_{R}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}$
Khi đó công suất cực đại của biến trở là :
${{P}_{Rmax}}==\dfrac{{{U}^{2}}}{2\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}+2r}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2(R+r)}$
Đáp án D.