Cho đa thức bậc bốn $y=f\left( x \right)$ đạt cực trị tại $x=1$ và...

Ta có $y=f\left( x \right)$ là đa thức bậc bốn nên ${f}'\left( x \right)$ là đa thức bậc ba. (1)
Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+{f}'\left( x \right)}{2x}=2\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left( 1+\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2x} \right)=2\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{f}'\left( x \right)}{x}=2$. (2)
Từ (1), (2) suy ra ${f}'\left( x \right)$ có dạng ${f}'\left( x \right)=x\left( a{{x}^{2}}+bx+2 \right)$.
Ta lại có $y=f\left( x \right)$ đạt cực trị tại $x=1$ và $x=2$ nên ${f}'\left( 1 \right)=0,{f}'\left( 2 \right)=0$.
Do đó, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& a+b+2=0 \\
& 8a+4b+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)dx}=\dfrac{1}{4}$.