Google
Câu hỏi: Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+f'(x)}{2x}=2$. Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f'(x)dx}$
A. $\dfrac{3}{2}$
B. $\dfrac{1}{4}$
C. $\dfrac{3}{4}$
D. 1
A. $\dfrac{3}{2}$
B. $\dfrac{1}{4}$
C. $\dfrac{3}{4}$
D. 1
Phương pháp:
Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0
Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân.
Cách giải:
Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+f'(x)}{2x}=2$ mà $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} 2x=0$ nên $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left( 2x+f'(x) \right)=0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} f'(x)=0\Rightarrow f'(0)=0$ (vì nếu $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left( 2x+f'(x) \right)\ne 0$ thì $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+f'(x)}{2x}=\infty \ne 2$ )
Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2
Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm $f'(x)=m.x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$
Từ đề bài ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+mx\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{2x}=2\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{2+m\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{2}=2\Rightarrow \dfrac{2+2m}{2}=2\Leftrightarrow m=1$
Nên $f'(x)=x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x$
Từ đó $\int\limits_{0}^{1}{f'(x)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x \right)dx=\dfrac{1}{4}.}}$
Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0
Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân.
Cách giải:
Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+f'(x)}{2x}=2$ mà $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} 2x=0$ nên $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left( 2x+f'(x) \right)=0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} f'(x)=0\Rightarrow f'(0)=0$ (vì nếu $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left( 2x+f'(x) \right)\ne 0$ thì $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+f'(x)}{2x}=\infty \ne 2$ )
Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2
Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm $f'(x)=m.x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$
Từ đề bài ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+mx\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{2x}=2\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{2+m\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{2}=2\Rightarrow \dfrac{2+2m}{2}=2\Leftrightarrow m=1$
Nên $f'(x)=x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x$
Từ đó $\int\limits_{0}^{1}{f'(x)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x \right)dx=\dfrac{1}{4}.}}$
Đáp án B.